3 sistemas de equações lineares e como resolvê-los

O equações lineares são equações polinomiais com uma ou várias incógnitas. Neste caso, os desconhecidos não são elevados a poderes, nem se multiplicam entre si (neste caso diz-se que a equação é de grau 1 ou de primeiro grau).

Uma equação é uma igualdade matemática onde há um ou mais elementos desconhecidos que chamaremos de desconhecidos ou desconhecidos no caso de haver mais de um. Para resolver esta equação é necessário descobrir o valor dos desconhecidos.

Uma equação linear tem a seguinte estrutura:

um₀· 1 + a₁· X₁+ a₂· X₂+ ... + a_n· X_n= b

Onde₀, um₁, um₂... um_n são números reais dos quais sabemos seu valor e são chamados coeficientes, b é também um número real conhecido que é chamado de termo independente. E finalmente eles são X₁X_2,..., X_n que são conhecidos como desconhecidos. Estas são as variáveis ​​cujo valor é desconhecido.

Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações lineares em que o valor das incógnitas é o mesmo em cada equação.

Logicamente, a maneira de resolver um sistema de equações lineares é atribuir valores aos desconhecidos, para que a igualdade possa ser verificada. Ou seja, as incógnitas devem ser calculadas para que todas as equações do sistema sejam atendidas simultaneamente. Nós representamos um sistema de equações lineares da seguinte forma

um₀· 1 + a₁· X₁ + a₂· X₂ + ... + a_n· X_n = a_{n + 1}

b₀· 1 + b₁· X₁ + b₂· X₂ + ... + b_n· X_n = b_{n + 1}

c₀· 1 + c₁· X₁ + c₂· X₂ + ... + c_n· X_n = c_{n + 1}

… .

d₀· 1 + d₁· X₁ + d₂· X₂ + ... + d_n· X_n = d_{n + 1}

 onde um_0, um₁... um_nb₀b₁, ..., b_n c₀ c₁... c_n etc nós números reais e os desconhecidos para resolver são X₀, ..., X_n X_{n + 1}.

Cada equação linear representa uma linha e, portanto, um sistema de equações de N equações lineares representa N linhas desenhadas no espaço.

Dependendo do número de incógnitas que cada equação linear possui, a linha que representa a equação será representada em uma dimensão diferente, ou seja, uma equação com duas incógnitas (por exemplo, 2 x₁ + X₂ = 0) representa uma linha em um espaço bidimensional, uma equação com três incógnitas (por exemplo, 2 · X₁ + X₂ - 5 · X₃ = 10) seria representado em um espaço tridimensional e assim por diante.

Ao resolver um sistema de equações, os valores de X₀, ..., X_n X_{n + 1} eles são os pontos de corte entre as linhas.

Ao resolver um sistema de equações, podemos chegar a diferentes conclusões. Dependendo do tipo de resultado obtido, podemos distinguir entre 3 tipos de sistemas de equações lineares:

1- Compatibilidade indeterminada

Embora pareça uma piada, é possível que ao tentar resolver o sistema de equações, cheguemos a um estilo óbvio 0 = 0.

Esse tipo de situação ocorre quando há infinitas soluções para o sistema de equações, e isso ocorre quando se verifica que em nosso sistema de equações as equações representam a mesma linha. Podemos ver isso graficamente:

Como um sistema de equações nós tomamos:

Por ter 2 equações com 2 incógnitas para resolver, podemos representar as linhas em um plano bidimensional

Como podemos ver as linhas com ele, portanto todos os pontos da primeira equação coincidem com os da segunda equação, portanto ela tem tantos pontos de corte quanto os pontos que a linha possui, ou seja, infinitos.

2- Incompatível

Ao ler o nome, podemos imaginar que nosso próximo sistema de equações não terá solução.

Se tentarmos resolver, por exemplo, esse sistema de equações

Graficamente seria:

Se multiplicarmos todos os termos da segunda equação, obtemos que X + Y = 1 é igual a 2 · X + 2 · Y = 2. E se esta última expressão é subtraída da primeira equação, obtemos

2 · X-2 · X + 2 · Y -2 · Y = 3-2

Ou o que é o mesmo

0 = 1

Quando estamos nessa situação, significa que as linhas representadas no sistema de equações são paralelas, o que significa que, por definição, elas nunca são cortadas e não há ponto de corte. Quando um sistema é apresentado dessa maneira, é considerado inconsistente e independente.

3- Suporte determinado

Finalmente, chegamos ao caso em que nosso sistema de equações tem uma única solução, o caso em que temos linhas que se cruzam e geram um ponto de intersecção. Vamos ver um exemplo:

Para resolvê-lo, podemos adicionar as duas equações para que possamos obter

(3 · X-4 · Y) + (2 · X + 4 · Y) = -6 + 16

Se simplificarmos, nos resta

5 · X + 0 · Y = 5 · X = 10

Daqui deduzimos facilmente que X = 2 e substituindo ou X = 2 em qualquer uma das equações originais obtemos Y = 3.

Visualmente seria:

Métodos de resolução de sistemas de equações lineares

Como vimos na seção anterior, para sistemas com 2 incógnitas e 2 equações, baseadas em operações simples como adição, subtração, multiplicação, divisão e substituição, podemos resolvê-las em questão de minutos.Mas se tentarmos aplicar essa metodologia a sistemas com mais equações e mais incógnitas, os cálculos se tornarão tediosos e poderemos errar facilmente.

Para simplificar os cálculos, existem vários métodos de resolução, mas, sem dúvida, os métodos mais difundidos são a Regra de Cramer e a Eliminação de Gauss-Jordan.

Método de Cramer

Para explicar como esse método é aplicado é essencial conhecer qual é a sua matriz e saber como encontrar seu determinante, vamos fazer um parêntese para podermos definir esses dois conceitos.

Um matrix não é nada mais que um conjunto de números ou símbolos algébricos colocados em linhas horizontais e verticais e organizados na forma de um retângulo. Para o nosso tema, usaremos a matriz como uma maneira mais simplificada de expressar nosso sistema de equações.

Vamos ver um exemplo:

Será o sistema de equações lineares

Esse sistema simples de equações que podemos resumir é a operação de duas matrizes 2 × 2 que resultam em uma matriz 2 × 1.

A primeira matriz corresponde a todos os coeficientes, a segunda matriz é a incógnita a ser resolvida e a matriz localizada após a igualdade é identificada com os termos independentes das equações.

O determinante é uma operação que é aplicada a uma matriz cujo resultado é um número real.

No caso da matriz que encontramos em nosso exemplo anterior, seu determinante seria:

Uma vez que os conceitos de matriz e determinante foram definidos, podemos explicar em que consiste o método de Cramer.

Por este método, podemos facilmente resolver um sistema de equações lineares, desde que o sistema não exceda as três equações com três incógnitas, pois o cálculo dos determinantes de uma matriz é muito difícil para matrizes de 4 × 4 ou mais. No caso de ter um sistema com mais de três equações lineares, o método de eliminação de Gauss-Jordan é recomendado.

Continuando com o exemplo anterior, por meio de Cramer, simplesmente temos que calcular dois determinantes e, com ele, encontraremos o valor de nossos dois desconhecidos.

Nós temos nosso sistema:

E nós temos um sistema representado por matrizes:

O valor de X é encontrado:

Simplesmente no cálculo do determinante localizado no denominador da divisão, substituímos a primeira comuna pela matriz de termos independentes. E no denominador da divisão temos o determinante da nossa matriz original.

Realizando os mesmos cálculos para encontrar o Y que obtemos:

Eliminação de Gauss-Jordan

Nós definimos matriz estendida para a matriz que resulta de um sistema de equações onde adicionamos os termos independentes no final da matriz.

Se continuarmos com o nosso exemplo

Nossa matriz estendida seria:

O método pela eliminação de Gauss-Jordan consiste, por meio de operações entre linhas da matriz, em transformar nossa matriz estendida em uma matriz muito mais simples, onde tenho zeros em todos os campos, exceto na diagonal, onde devo obter alguns. Da seguinte maneira:

Onde X e Y seriam números reais que correspondem aos nossos desconhecidos.

Vamos resolver esse sistema eliminando Gauss-Jordan:

multiplique a primeira linha por 2 e a segunda linha por 3

Se subtrairmos a primeira linha da primeira linha, obtemos

Já conseguimos obter um zero na parte inferior esquerda da nossa matriz, o próximo passo é obter um 0 na parte superior direita dele.

Eu dividi a primeira linha entre 2 e a segunda linha entre 10 para simplificar os números multiplicou a segunda linha por 2

Eu entro na segunda fila a segunda

Conseguimos um 0 no canto superior esquerdo da matriz, agora só temos que converter a diagonal para uns e já resolvemos o nosso sistema por Gauss-Jordan.

Dividi a primeira linha por 3 e a segunda dividi por 4

Portanto, chegamos à conclusão de que:

Referências

1. vitutor.com.
2. algebra.us.es.
3. Sistemas de equações lineares (sem data). Recuperado de uco.es.
4. Sistemas de equações lineares. Capítulo 7. (sem data). Retirado de sauce.pntic.mec.es.
5. Álgebra Linear e Geometria (2010/2011). Sistemas de equações lineares. Capítulo 1. Departamento de Álgebra. Universidade de Sevilha. Espanha Recuperado de algebra.us.es.