Como calcular os lados e ângulos de um triângulo?



Existem diferentes maneiras de calcular os lados e ângulos de um triângulo. Eles dependem do tipo de triângulo com o qual você está trabalhando.

Nesta oportunidade, mostraremos como calcular os lados e os ângulos de um triângulo retângulo, assumindo que certos dados triangulares sejam conhecidos.

Os elementos que serão usados ​​são:

- Teorema de Pitágoras

Dado um triângulo retângulo com as pernas "a", "b" e hipotenusa "c", é verdade que "c² = a² + b²".

- Área de um triângulo

A fórmula para calcular a área de qualquer triângulo é A = (b × h) / 2, onde "b" é o comprimento da base e "h" o comprimento da altura.

- Ângulos de um triângulo

A soma dos três ângulos internos de um triângulo é de 180º.

- As funções trigonométricas:

Considere um triângulo retângulo. Então, as funções trigonométricas seno, cosseno e tangente do ângulo beta (β) são definidas da seguinte forma:

sin (β) = CO / Quadril, cos (β) = CA / Quadril e tan (β) = CO / CA.

Como calcular os lados e ângulos de um triângulo retângulo?

Dado um triângulo retângulo ABC, as seguintes situações podem ocorrer:

1- Ambas as pernas são conhecidas

Se o cateto "a" mede 3 cm e o cateto "b" mede 4 cm, então para calcular o valor de "c" é usado o teorema de Pitágoras. Ao substituir os valores de "a" e "b", obtemos c² = 25 cm², o que implica que c = 5 cm.

Agora, se o ângulo β estiver oposto ao cateto "b", então sin (β) = 4/5. Ao aplicar a função inversa do seno, nesta última igualdade obtemos que β = 53.13º. Dois ângulos internos do triângulo já são conhecidos.

Seja θ o ângulo que resta a ser conhecido, então 90º + 53,13º + θ = 180º, a partir do qual obtemos θ = 36,87º.

Neste caso, não é necessário que os lados conhecidos são as duas pernas, o importante é saber o valor de quaisquer dois lados.

2- Um cateto e a área é conhecida

Deixe a = 3 cm a perna conhecida e A = 9 cm² a área do triângulo.

Em um triângulo retângulo, uma perna pode ser considerada como uma base e a outra como altura (uma vez que são perpendiculares).

Suponha que "a" seja a base, portanto 9 = (3 × h) / 2, a partir da qual se obtém que o outro cateto mede 6 cm. Para calcular a hipotenusa, procedemos como no caso anterior, e obtemos c = √45 cm.

Agora, se o ângulo β estiver oposto à perna "a", então sin (β) = 3 / √45. Ao limpar β obtém-se que seu valor é 26.57º. Só resta saber o valor do terceiro ângulo θ.

Está satisfeito que 90º + 26,57º + θ = 180º, dos quais se conclui que θ = 63,43º.

3- Um ângulo e uma perna são conhecidos

Seja β = 45 ° o ângulo conhecido e a = 3 cm a perna conhecida, onde a perna "a" é oposta ao ângulo β. Usando a fórmula da tangente, obtemos que tg (45º) = 3 / CA, do qual resulta que CA = 3 cm.

Usando o teorema de Pitágoras, obtemos c² = 18 cm², ou seja, c = 3√2 cm.

Sabe-se que um ângulo mede 90º e que β mede 45º, a partir do qual se conclui que o terceiro ângulo mede 45º.

Neste caso, o lado conhecido não precisa ser uma perna, pode ser qualquer um dos três lados do triângulo.

Referências

  1. Landaverde, F. d. (1997). Geometria (Reprint ed.). Progresso
  2. Leake, D. (2006). Triângulos (ilustrado ed.). Heinemann-Raintree.
  3. Pérez, C. D. (2006). Pré-cálculo Educação Pearson.
  4. Ruiz, Á. & Barrantes, H. (2006). Geometrias Tecnologia CR
  5. Sullivan, M. (1997). Pré-cálculo Educação Pearson.
  6. Sullivan, M. (1997). Trigonometria e Geometria Analítica. Educação Pearson.