Propriedades de homotitude, tipos e exemplos

O homotecia é uma mudança geométrica no plano onde, a partir de um ponto fixo chamado centro (O), as distâncias são multiplicadas por um fator comum. Desta forma, cada ponto P corresponde a outro ponto P 'produto da transformação, e estes estão alinhados com o ponto O.

Então, a homitude é uma correspondência entre duas figuras geométricas, onde os pontos transformados são chamados de homotéticos, e estes são alinhados com um ponto fixo e com segmentos paralelos entre si.

Índice

• 1 homotecia
• 2 Imóveis
• 3 tipos
  • 3.1 Homossexualidade direta
  • 3.2 Homotetismo reverso
• 4 Composição
• 5 exemplos
  • 5.1 Primeiro exemplo
  • 5.2 Segundo exemplo
• 6 referências

Homotecia

A homotopia é uma transformação que não tem uma imagem congruente, porque de uma figura uma ou mais figuras de tamanho maior ou menor que a figura original serão obtidas; isto é, que a homotipia transforma um polígono em outro similar.

Para que o homoteísmo seja cumprido, eles devem corresponder ponto a ponto e direto ao reto, de modo que os pares de pontos homólogos estejam alinhados com um terceiro ponto fixo, que é o centro da homotitude.

Da mesma forma, os pares de linhas que os unem devem estar paralelos. A relação entre tais segmentos é uma constante chamada razão da homoteza (k); de tal maneira que a homitude pode ser definida como:

Para fazer esse tipo de transformação, começamos escolhendo um ponto arbitrário, que será o centro da homossexualidade.

A partir deste ponto, os segmentos de linha são desenhados para cada vértice da figura a ser transformada. A escala na qual a reprodução da nova figura é feita é dada pela razão da homoteça (k).

Propriedades

Uma das principais propriedades da homossexualidade é que, pela razão da homoteça (k), todas as figuras homotéticas são semelhantes. Entre outras propriedades notáveis, estão as seguintes:

- O centro da homoteça (O) é o único ponto duplo e isso se torna ele mesmo; isto é, não varia.

- As linhas que passam pelo centro se transformam (são duplas), mas os pontos que o compõem não são o dobro.

- As linhas retas que não passam pelo centro são transformadas em linhas paralelas; Desta forma, os ângulos da homossexualidade permanecem os mesmos.

- A imagem de um segmento por uma homitude do centro O e da razão k, é um segmento paralelo a este e tem k vezes o seu comprimento. Por exemplo, como visto na imagem a seguir, um segmento AB por homothetic resultará em outro segmento A'B ', de modo que AB será paralelo a A'B' ek será:

- Os ângulos homotéticos são congruentes; isto é, eles têm a mesma medida. Portanto, a imagem de um ângulo é um ângulo que tem a mesma amplitude.

Por outro lado, a homitude varia dependendo do valor de sua razão (k), e os seguintes casos podem ocorrer:

- Se a constante k = 1, todos os pontos são fixos porque eles se transformam. Assim, a figura homotética coincide com o original e a transformação será denominada função de identidade.

- Se k ≠ 1, o único ponto fixo será o centro da homotecnidade (O).

- Se k = -1, a homitude se torna uma simetria central (C); isto é, haverá uma rotação em torno de C, em um ângulo de 180^o.

- Se k> 1, o tamanho da figura transformada será maior que o tamanho do original.

- Se 0 <k <1, o tamanho da figura transformada será menor que o do original.

- Se -1 <k <0, o tamanho da figura transformada será menor e girado em relação ao original.

- Se k <-1, o tamanho da figura transformada será maior e girado em relação ao original.

Tipos

A homitude também pode ser classificada em dois tipos, dependendo do valor de sua razão (k):

Homossexualidade direta

Isso acontece se a constante k> 0; isto é, os pontos homotéticos estão do mesmo lado em relação ao centro:

O fator de proporcionalidade ou razão de similaridade entre figuras homotéticas diretas sempre será positivo.

Homotético reverso

Isso acontece se a constante k <0; isto é, os pontos iniciais e seus homotéticos estão localizados nos extremos opostos em relação ao centro da homotitude, mas alinhados a ele. O centro estará entre as duas figuras:

O fator de proporcionalidade ou razão de similaridade entre os números homotéticos inversos será sempre negativo.

Composição

Quando vários movimentos são realizados sucessivamente até que uma figura igual ao original seja obtida, ocorre uma composição de movimentos. A composição de vários movimentos também é um movimento.

A composição entre duas homotecias resulta em uma nova homotecia; isto é, temos um produto homotético no qual o centro será alinhado com o centro das duas transformações originais, e a razão (k) é o produto das duas razões.

Assim, na composição de dois homotecados₁(O₁k₁) e H₂(O₂k₂), multiplicando suas razões: k₁ x k₂ = 1 resultará em um homothety da relação k₃ = k₁ x k₂. O centro dessa nova homotitude (O₃) estará localizado na reta O₁ O₂.

A homitude corresponde a uma mudança plana e irreversível; se dois homotídeos forem aplicados com o mesmo centro e razão, mas com um sinal diferente, o valor original será obtido.

Exemplos

Primeiro exemplo

Aplique uma homitude ao polígono central dado (O), localizado a 5 cm do ponto A e cuja relação é k = 0,7.

Solução

Qualquer ponto é escolhido como o centro da homotitude, e deste raio são desenhados pelos vértices da figura:

A distância do centro (O) ao ponto A é OA = 5; Com isso você pode determinar a distância de um dos pontos homotéticos (OA ') sabendo também que k = 0.7:

OA '= k x OA.

OA '= 0,7 x 5 = 3,5.

O processo pode ser feito para cada vértice, ou você também pode desenhar o polígono homotético lembrando que os dois polígonos têm lados paralelos:

Finalmente, a transformação é assim:

Segundo exemplo

Aplique uma homitude ao polígono central determinado (O), localizado a 8,5 cm do ponto C e cuja relação y = -2.

Solução

A distância do centro (O) ao ponto C é OC = 8,5; com estes dados é possível determinar a distância de um dos pontos homotéticos (OC '), sabendo também que k = -2:

OC '= k x OC.

OC '= -2 x 8,5 = -17

Depois de traçar os segmentos dos vértices do polígono transformado, temos que os pontos iniciais e seus homotéticos estão localizados nas extremidades opostas em relação ao centro:

Referências

1. Álvaro Rendón, A. R. (2004). Desenho Técnico: caderno de atividades.
2. Antonio Alvarez de la Rosa, J. L. (2002). Afinidade, homologia e homoteza.
3. Baer, ​​R. (2012). Álgebra Linear e Geometria Projetiva. Courier Corporation.
4. Hebert, Y. (1980). Matemática geral, probabilidades e estatísticas.
5. Meserve, B. E. (2014). Conceitos Fundamentais de Geometria. Courier Corporation.
6. Nachbin, L. (1980). Introdução à álgebra. Reverte