Método Quadrado Mínimo, Exercícios Resolvidos e o Que Serve



O método de mínimos quadrados é uma das aplicações mais importantes na aproximação de funções. A idéia é encontrar uma curva tal que, dado um conjunto de pares ordenados, essa função aproxime melhor os dados. A função pode ser uma linha, uma curva quadrática, uma curva cúbica, etc.

A idéia do método é minimizar a soma dos quadrados das diferenças nas ordenadas (componente Y), entre os pontos gerados pela função escolhida e os pontos pertencentes ao conjunto de dados.

Índice

  • 1 Método dos mínimos quadrados
  • 2 exercícios resolvidos
    • 2.1 Exercício 1
    • 2.2 Exercício 2
  • 3 O que é isso?
  • 4 referências

Método dos mínimos quadrados

Antes de dar o método, devemos primeiro ser claros sobre o que significa "melhor abordagem". Vamos supor que procuremos uma linha y = b + mx que melhor represente um conjunto de n pontos, a saber {(x1, y1), (x2, y2) ..., (xn, yn)}.

Como mostrado na figura anterior, se as variáveis ​​x e y fossem relacionadas pela linha y = b + mx, então para x = x1 o valor correspondente de y seria b + mx1. No entanto, esse valor é diferente do valor verdadeiro de y, que é y = y1.

Lembre-se que no plano, a distância entre dois pontos é dada pela seguinte fórmula:

Com isso em mente, para determinar a maneira de escolher a linha y = b + mx que melhor se aproxima dos dados dados, parece lógico usar como critério a seleção da linha que minimiza a soma dos quadrados das distâncias entre os pontos. e a linha.

Como a distância entre os pontos (x1, y1) e (x1, b + mx1) é y1- (b + mx1), nosso problema é reduzido para encontrar os números meb de modo que a soma a seguir seja mínima:

A linha que atende a essa condição é conhecida como "aproximação da reta dos mínimos quadrados aos pontos (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)".

Uma vez resolvido o problema, resta apenas escolher um método para encontrar a aproximação dos mínimos quadrados. Se os pontos (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn) estão todos na linha y = mx + b, teríamos que ser colineares e:

Nesta expressão:

Finalmente, se os pontos não são colineares, então y-Au = 0 e o problema pode ser traduzido em encontrar um vetor ou tal que a norma Euclidiana seja mínima.

Encontrar o vetor minimizador não é tão difícil quanto você imagina. Como A é uma matriz nx2 e u é uma matriz 2 × 1, temos que o vetor Au é um vetor em Rn e pertence à imagem de A, que é um subespaço de Rn com uma dimensão não superior a dois.

Assumiremos que n = 3 para mostrar qual é o procedimento que deve ser seguido. Se n = 3, a imagem de A será um plano ou linha que passa pela origem.

Seja v o vetor minimizador. Na figura, observamos que y-Au é minimizado quando é ortogonal à imagem de A. Isto é, se v é o vetor minimizador, então acontece que:

Então, podemos expressar o acima desta maneira:

Isso só pode acontecer se:

Finalmente, limpando v, temos que:

É possível fazer isso desdetA é invertível desde que os n pontos dados como dados não sejam colineares.

Agora, se em vez de procurar uma linha, gostaríamos de encontrar uma parábola (cuja expressão seria da forma y = a + bx + cx2) que foi uma aproximação melhor dos n pontos de dados, o procedimento seria descrito abaixo.

Se os n pontos de dados estivessem na referida parábola, teria que:

Então:

De maneira semelhante, podemos escrever y = Au. Se todos os pontos não estão na parábola, temos que y-Au é diferente de zero para qualquer vetor u e nosso problema é novamente: encontrar um vetor u em R3 tal que sua norma || y-Au || seja o menor possível.

Repetindo o procedimento anterior, podemos chegar ao vetor procurado:

Exercícios resolvidos

Exercício 1

Encontre a linha que melhor se encaixa nos pontos (1,4), (-2,5), (3, -1) e (4,1).

Solução

Temos que:

Então:

Portanto, concluímos que a linha que melhor se ajusta aos pontos é dada por:

Exercício 2

Suponha que um objeto seja derrubado de uma altura de 200 m. Ao cair, as seguintes medidas são tomadas:

Sabemos que a altura do dito objeto, depois de ter passado um tempo t, é dada por:

Se quisermos obter o valor de g, podemos encontrar uma parábola que seja uma melhor aproximação aos cinco pontos dados na tabela, e assim teríamos o coeficiente que acompanha t2 será uma aproximação razoável para (-1/2) g se as medições forem precisas.

Temos que:

E logo:

Portanto, os pontos de dados são ajustados pela seguinte expressão quadrática:

Então você precisa:

Este é um valor razoavelmente próximo do correto, que é g = 9,81 m / s2. Para obter uma aproximação mais precisa de g, seria necessário partir de observações mais precisas.

Para que serve?

Nos problemas que ocorrem nas ciências naturais ou sociais, é conveniente escrever as relações que ocorrem entre diferentes variáveis ​​por meio de alguma expressão matemática.

Por exemplo, podemos relacionar custo (C), receita (I) e lucros (U) em economia por meio de uma fórmula simples:

Em física, podemos relacionar a aceleração causada pela gravidade, o tempo que um objeto caiu e a altura do objeto por lei:

Na expressão anterior so é a altura inicial desse objeto e vo É a sua velocidade inicial.

No entanto, encontrar fórmulas como essas não é uma tarefa simples; geralmente cabe ao profissional de plantão trabalhar com muitos dados e realizar repetidamente vários experimentos (a fim de verificar se os resultados obtidos são constantes) para encontrar relações entre os diferentes dados.

Uma maneira comum de conseguir isso é representar os dados obtidos em um plano como pontos e procurar uma função contínua que se aproxime desses pontos de uma maneira ideal.

Uma das maneiras de encontrar a função que "melhor aproxima" os dados fornecidos é pelo método dos mínimos quadrados.

Além disso, como vimos também no exercício, graças a este método podemos obter aproximações bastante próximas das constantes físicas.

Referências

  1. Álgebra Linear de Charles W Curtis. Springer-Velarg
  2. Kai Lai Chung Teoria elementar da probabilidade com processos estocásticos. Springer-Verlag New York Inc
  3. Richar L Burden e J.Douglas Faires. Análise Numérica (7ed). Thompson Learning.
  4. Stanley I. Grossman. Aplicações de Álgebra Linear. MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE MEXICO
  5. Stanley I. Grossman. Álgebra Linear. MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE MEXICO