Movimento pêndulo simples pêndulo, movimento harmônico simples

Um pêndulo é um objeto (idealmente um ponto de massa) pendurado por um fio (idealmente sem massa) de um ponto fixo e que oscila graças à força da gravidade, aquela misteriosa força invisível que, entre outras coisas, fica presa ao universo.

O movimento pendular é aquele que ocorre em um objeto de um lado para outro, pendurado em uma fibra, cabo ou linha. As forças que intervêm nesse movimento são a combinação da força da gravidade (vertical, em direção ao centro da Terra) e a tensão do fio (direção do fio).

É o que os relógios de pêndulo fazem (daí o nome) ou os balanços de recreio. Em um pêndulo ideal, o movimento oscilatório continuaria perpetuamente. Em um pêndulo real, no entanto, o movimento acaba parando com o tempo devido ao atrito com o ar.

Pensar em um pêndulo torna inevitável evocar a imagem do relógio pendular, a memória daquele relógio antigo e imponente da casa de campo dos avós. Ou talvez a história de terror de Edgar Allan Poe, O poço e o pêndulo cuja narrativa é inspirada por um dos muitos métodos de tortura usados ​​pela Inquisição Espanhola.

A verdade é que os diferentes tipos de pêndulos têm várias aplicações além do tempo de medição, como, por exemplo, determinar a aceleração da gravidade em um determinado lugar e até mesmo demonstrar a rotação da Terra, como fez o físico francês Jean Bernard Léon. Foucault

Índice

• 1 O pêndulo simples e o movimento vibratório harmônico simples
  • 1.1 pêndulo simples
  • 1.2 Movimento harmônico simples
  • 1.3 Dinâmica do movimento pêndulo
  • 1.4 Deslocamento, velocidade e aceleração
  • 1.5 Velocidade máxima e aceleração
• 2 Conclusão
• 3 referências

O pêndulo simples e o movimento vibratório harmônico simples

Pêndulo simples

O pêndulo simples, embora seja um sistema ideal, permite realizar uma abordagem teórica ao movimento de um pêndulo.

Embora as equações do movimento de um pêndulo simples possam ser um tanto complexas, a verdade é que quando a amplitude (Um), ou deslocamento da posição de equilíbrio, do movimento é pequeno, isso pode ser aproximado com as equações de um movimento harmônico simples que não são excessivamente complicadas.

Movimento harmônico simples

O simples movimento harmônico é um movimento periódico, isto é, que se repete no tempo. Além disso, é um movimento oscilatório cuja oscilação ocorre em torno de um ponto de equilíbrio, isto é, um ponto em que o resultado líquido da soma das forças aplicadas ao corpo é zero.

Desta forma, uma característica fundamental do movimento do pêndulo é o seu período (T), que determina o tempo necessário para fazer um ciclo completo (ou oscilação completa). O período de um pêndulo é determinado pela seguinte expressão:

sendo, l = o comprimento do pêndulo; e g = o valor da aceleração da gravidade.

Uma magnitude relacionada ao período é a frequência (f), que determina o número de ciclos que o pêndulo percorre em um segundo. Desta forma, a frequência pode ser determinada a partir do período com a seguinte expressão:

Dinâmica do movimento do pêndulo

As forças que intervêm no movimento são o peso, ou o que é a mesma força da gravidade (P) e a tensão da linha (T). A combinação dessas duas forças é o que causa o movimento.

Enquanto a tensão é sempre direcionada na direção do fio ou corda que une a massa com o ponto fixo e, portanto, não é necessário se decompor; o peso é sempre direcionado na vertical em direção ao centro de massa da Terra e, portanto, é necessário decompor em seus componentes tangenciais e normais ou radiais.

O componente tangencial do peso P_t = mg sen θ, enquanto o componente normal do peso é P_N = mg cos θ. Este segundo é compensado com a tensão do fio; O componente tangencial do peso que age como uma força recuperadora é, portanto, responsável pelo movimento.

Deslocamento, velocidade e aceleração

O deslocamento de um movimento harmônico simples e, portanto, do pêndulo, é determinado pela seguinte equação:

x = A ω cos (ω t + θ₀)

onde ω = é a velocidade angular de rotação; t = é tempo; e θ₀ = é a fase inicial.

Desta forma, esta equação permite determinar a posição do pêndulo a qualquer momento. A esse respeito, é interessante destacar algumas relações entre algumas das magnitudes do movimento harmônico simples.

ω = 2 Π / T = 2 Π / f

Por outro lado, a fórmula que regula a velocidade do pêndulo em função do tempo é obtida derivando o deslocamento em função do tempo, assim:

v = dx / dt = -A ω sen (ω t + θ₀)

Procedendo da mesma maneira, obtemos a expressão da aceleração em relação ao tempo:

a = dv / dt = - A ω² cos (ω t + θ₀)

Velocidade máxima e aceleração

Observando tanto a expressão da velocidade quanto a da aceleração, alguns aspectos interessantes do movimento do pêndulo são apreciados.

A velocidade assume o seu valor máximo na posição de equilíbrio, momento em que a aceleração é zero, pois, como já foi dito acima, nesse momento a força resultante é zero.

Ao contrário, nos extremos do deslocamento ocorre o inverso, a aceleração assume o valor máximo e a velocidade assume um valor nulo.

A partir das equações de velocidade e aceleração, é fácil deduzir o módulo de velocidade máxima e o módulo de aceleração máxima. Basta tirar o máximo valor possível para ambos sin (ω t + θ₀) quanto ao cos (ω t + θ₀), que em ambos os casos é 1.

│v_máximo │= A ω

│um_máximo│ = A ω²

O momento em que o pêndulo atinge a velocidade máxima é quando passa pelo ponto de equilíbrio de forças desde então sin (ω t + θ₀)= 1. Pelo contrário, a aceleração máxima chega a ambas as extremidades do movimento, desde então cos (ω t + θ₀) = 1

Conclusão

Um pêndulo é um objeto fácil de projetar e, aparentemente, com um simples movimento, embora a verdade seja que, no fundo, é muito mais complexo do que parece.

Entretanto, quando a amplitude inicial é pequena, seu movimento pode ser explicado com equações que não são excessivamente complicadas, dado que ela pode ser aproximada com as equações do movimento vibratório harmônico simples.

Os diferentes tipos de pêndulos existentes têm diferentes aplicações tanto para a vida cotidiana como para o campo científico.

Referências

1. Van Baak, Tom (novembro de 2013). "Uma nova e maravilhosa equação do período de pêndulo". Boletim de Ciência Horológica.2013 (5): 22-30.
2. Pêndulo. (n.d.) Na Wikipedia. Retirado em 7 de março de 2018, de en.wikipedia.org.
3. Pêndulo (matemática). (n.d.) Na Wikipedia. Retirado em 7 de março de 2018, de en.wikipedia.org.
4. Llorente, Juan Antonio (1826).A história da Inquisição da Espanha. Resumido e traduzido por George B. Whittaker. Universidade de Oxford. pp. XX, prefácio.
5. Poe, Edgar Allan (1842).O poço e o pêndulo. Booklassic. ISBN 9635271905.