O que é o Gravicentro? (com exemplos)

O gravicentro é uma definição amplamente usada em geometria ao trabalhar com triângulos.

Para entender a definição de gravicentro é necessário primeiro conhecer a definição de "medianas" de um triângulo.

As medianas de um triângulo são os segmentos de linha que começam em cada vértice e atingem o ponto médio do lado oposto àquele vértice.

O ponto de intersecção das três medianas de um triângulo é chamado baricentro ou também é conhecido como gravicentro.

Não basta apenas conhecer a definição, é interessante saber como esse ponto é calculado.

Cálculo do baricentro

Dado um triângulo ABC com vértices A = (x1, y1), B = (x2, y2) e C = (x3, y3), temos que o gravicentro é a interseção das três medianas do triângulo.

Uma fórmula rápida que permite o cálculo do gravicentro de um triângulo, sendo conhecidas as coordenadas de seus vértices é:

G = ((x1 + x2 + x3) / 3, (y1 + y2 + y3) / 3).

Com esta fórmula você pode saber a localização do gravicentro no plano cartesiano.

Características do Gravicentro

Não é necessário desenhar as três medianas do triângulo, porque ao desenhar duas delas ficará evidente onde está o gravicentro.

O gravicentro divide cada mediana em 2 partes cuja proporção é 2: 1, ou seja, os dois segmentos de cada mediana são divididos em segmentos de comprimentos 2/3 e 1/3 do comprimento total, com a maior distância sendo aquela que é entre o vértice e o gravicentro.

A imagem a seguir ilustra melhor essa propriedade.

A fórmula para calcular o gravicentro é muito simples de aplicar. A maneira de obter esta fórmula é calcular as equações de linha que definem cada mediana e depois encontrar o ponto de corte das linhas.

Exercícios

Abaixo está uma pequena lista de problemas relativos ao cálculo do baricentro.

1.- Dado um triângulo de vértices A = (0,0), B = (1,0) e C = (1,1), calcule o gravicentro do dito triângulo.

Usando a fórmula dada, pode-se concluir rapidamente que o gravicentro do triângulo ABC é:

G = ((0 + 1 + 1) / 3, (0 + 0 + 1) / 3) = (2/3, 1/3).

2.- Se um triângulo tem vértices A = (0,0), B = (1,0) e C = (1 / 2,1), quais são as coordenadas do gravicentro?

Como os vértices do triângulo são conhecidos, a fórmula para calcular o gravicentro é aplicada. Portanto, o gravicentro tem coordenadas:

G = ((0 + 1 + 1/2) / 3, (0 + 0 + 1) / 3) = (1/2, 1/3).

3.- Calcule os possíveis gravicentros para um triângulo equilátero de tal forma que dois dos seus vértices sejam A = (0,0) e B = (2,0).

Neste exercício, apenas dois vértices do triângulo estão sendo especificados. A fim de encontrar possíveis gravicenters, devemos primeiro calcular o terceiro vértice do triângulo.

Como o triângulo é equilátero e a distância entre A e B é 2, o terceiro vértice C deve estar na distância 2 de A e B.

Utilizando o fato de que em um triângulo equilátero a altura coincide com a mediana e também usando o teorema de Pitágoras, podemos concluir que as opções para as coordenadas do terceiro vértice são C1 = (1, √3) ou C2 = (1, - √3).

Então as coordenadas dos dois gravicentros possíveis são:

G1 = ((0 + 2 + 1) / 3, (0 + 0 + √3) / 3) = (3/3, √3 / 3) = (1, √3 / 3),

G2 = ((0 + 2 + 1) / 3, (0 + 0-√3) / 3) = (3/3, -√3 / 3) = (1, -√3 / 3).

Graças aos relatos anteriores, pode-se notar também que a mediana foi dividida em duas partes, cuja proporção é de 2: 1.

Referências

1. Landaverde, F. d. (1997). Geometria (Reprint ed.). Progresso
2. Leake, D. (2006). Triângulos (ilustrado ed.). Heinemann-Raintree.
3. Pérez, C. D. (2006). Pré-cálculo Educação Pearson.
4. Ruiz, Á. & Barrantes, H. (2006). Geometrias Tecnologia CR
5. Sullivan, M. (1997). Pré-cálculo Educação Pearson.
6. Sullivan, M. (1997). Trigonometria e Geometria Analítica. Educação Pearson.