O que é um vetor e quais são suas características?

Um vector é uma quantidade ou fenômeno que possui duas propriedades independentes: magnitude e direção. O termo também denota a representação matemática ou geométrica dessa quantidade.

Exemplos de vetores na natureza são velocidade, força, campos eletromagnéticos e peso. Uma quantidade ou fenômeno que só mostra magnitude, sem direção específica, é chamado de escalar.

Exemplos de escalares incluem velocidade, massa, resistência elétrica e capacidade de armazenamento em disco rígido.

Os vetores podem ser representados graficamente em duas ou três dimensões. A magnitude é mostrada como o comprimento de um segmento. A direção é mostrada pela orientação do segmento e por uma seta em uma extremidade.

A ilustração acima mostra três vetores em coordenadas retangulares bidimensionais (o plano cartesiano) e seus equivalentes em coordenadas polares.

Os vetores em física

Na física, quando você tem um vetor, você tem que levar em conta duas grandezas: sua direção e sua magnitude. Quantidades que têm apenas uma magnitude são chamadas de escalares. Se uma direção é dada a uma grandeza escalar, um vetor é criado.

Visualmente, os vetores são vistos como setas, o que é perfeito porque uma seta tem uma direção clara e uma magnitude clara (o comprimento da seta).

Na figura a seguir, a seta representa um vetor que começa no pé da flecha (também chamado de rabo) e termina na cabeça.

Na física, uma fonte em negrito é geralmente usada para representar um vetor, embora também possa ser representada como uma letra com uma seta sobre ela.

A seta significa que não é apenas um valor escalar, que seria representado por A, mas também algo com direção.

Diferenças entre vetor e escalar

Valores que não são vetores são escalares. Por exemplo, tal quantidade de 500 maçãs é um escalar, não tem direção, é apenas uma magnitude. O tempo também é escalar, não tem direção.

No entanto, a velocidade é um vetor, uma vez que não só especifica uma magnitude (a velocidade) da rota, mas também indica a direção (e direção) da rota.

Por exemplo, a linha de ação do vetor velocidade pode

estar a 30 ° da horizontal. Portanto, sabemos em qual direção o objeto se move.

No entanto, isso ainda não especifica a direção da viagem, se ela está se afastando ou se aproximando de nós. Portanto, também especificamos a direção na qual o vetor age por meio de uma ponta de seta.

Força, aceleração e distância percorrida também são vetores. Por exemplo, dizer que um carro se moveu 10 metros não indica em qual direção ele se moveu. Para especificar o movimento completamente, também é necessário especificar a direção e a direção do movimento.

Força também é um vetor, porque se você puxar um objeto em sua direção, ele se aproxima de você e, se você empurrar o objeto, ele se afasta de você. Então a força tem uma direção e um sentido e, portanto, é um vetor.

Exemplo

Como exemplos das informações fornecidas por um vetor, temos o seguinte:

Procure um saco de ouro

Suponha que um professor lhe diga: "Um saco de ouro está fora da sala de aula, para encontrá-lo, mova 20 metros". Esta afirmação certamente lhe interessará, no entanto, não há informação suficiente incluída na declaração para encontrar a bolsa de ouro.

O deslocamento necessário para encontrar a bolsa de ouro não foi totalmente descrito. Por outro lado, suponha que seu professor lhe diga: "Um saco de ouro está localizado fora da sala de aula, para encontrá-lo se mover do centro da porta da classe 20 metros em uma direção de 30 ° oeste do norte."

Essa declaração agora fornece uma descrição completa do vetor de deslocamento, que lista a magnitude (20 metros) e a direção (30 ° oeste do norte) em relação a uma posição de referência ou de partida (o centro da porta da classe). ).

As grandezas vetoriais não são totalmente descritas, a menos que a magnitude e a direção sejam indicadas.

Deslocamento de carro

Quando nos movemos em um carro, usamos vetores diferentes. Esses vetores aparecem toda vez que mudamos de velocidade.

Quando aceleramos para ultrapassar outro carro, estamos adicionando variáveis ​​de direção e velocidade que compõem um novo vetor.

Por outro lado, quando queremos diminuir a velocidade, estamos subtraindo vetores correspondentes à referida desaceleração.

Em outro sentido, quando invertemos sem mudar a velocidade, estamos modificando o significado para o vetor que emerge do movimento do carro.

Abra uma porta

Quando abrimos uma porta, usamos vários vetores. Primeiro, devemos imprimir uma força em uma determinada direção para girar o botão da porta, então devemos empurrar a porta em uma determinada direção, imprimindo uma força.

Esses valores de força e direção correspondem aos vetores que são usados ​​para abrir uma porta. O processo de fechar uma porta gerará um novo vetor, no qual seu valor será negativo em relação ao inicialmente dado para abri-lo.

Mova uma caixa

Quando queremos empurrar uma caixa que é muito pesada, devemos exercer uma força em sua superfície lateral. Essa força deve ser exercida em uma direção, para que a caixa possa se mover.

Neste caso, o vetor resultará da combinação de força e direção aplicada para mover a caixa.

Caso a força não seja usada para empurrar a caixa, mas para erguê-la verticalmente, um novo vetor aparecerá.

Este vetor será formado pelo eixo vertical no qual a caixa é levantada e a força aplicada para levantá-lo.

Mova um bloco de xadrez

Como no exemplo anterior, um bloco de xadrez pode ser movido na superfície da mesa - em uma determinada direção e, aplicando uma força específica - para alterar sua posição na placa, gerando um vetor.

Também pode ser levantado da placa, gerando um novo vetor na direção vertical.

Pressione um botão

Um botó será pressionado em apenas uma direção, dado pelo mesmo sistema que contém o botão.

Para pressionar esse botão, é necessário aplicar uma força com o dedo. Do exercício deste movimento, um vetor resultará.

Jogar bilhar

A ação de acertar uma bola de bilhar com a sugestão de madeira imediatamente resulta em um vetor, já que tem o efeito de duas magnitudes: força e direção.

Uma força será aplicada à bola de bilhar, para movê-la em uma direção particular. A bola de bilhar na mesa terá um sentido previamente estabelecido, que dependerá da decisão do jogador.

Puxando um carro de brinquedo

Quando uma criança pega seu carrinho de brinquedo e puxa-o de uma corda, ou simplesmente o manipula com as mãos, ele estará gerando numerosos vetores.

Cada vez que a criança muda a velocidade ou a direção na qual o carro se move, ela cria um novo vetor.

As variáveis ​​do vetor, nesse caso, seriam compostas da energia que a criança aplica ao carro e da direção em que ele deseja movê-lo.

Representação de vetores

Quantidades vetoriais são frequentemente representadas por diagramas vetoriais escalonados.

Os diagramas vetoriais representam um vetor usando uma seta desenhada para dimensionar em uma direção específica. Um diagrama vetorial apropriado deve ter várias características:

• Uma escala está claramente listada.
• Uma seta de vetor é desenhada (com uma ponta de seta) em uma direção específica. A seta do vetor tem uma cabeça e uma cauda.
• A magnitude e a direção do vetor são claramente rotuladas.

Endereço de um vetor

Vetores podem ser direcionados para o leste, oeste, sul e norte. Mas alguns vetores são direcionados para o nordeste (em um ângulo de 45 °). Portanto, há uma clara necessidade de identificar a direção de um vetor que não dependa do norte, sul, leste ou oeste.

Há uma variedade de convenções para descrever a direção de qualquer vetor, no entanto, apenas duas delas serão explicadas abaixo.

1-A direção de um vetor é freqüentemente expressa como um ângulo de rotação do vetor em torno de sua "cauda" para o leste, oeste, norte ou sul.

Por exemplo, pode-se dizer que um vetor tem um endereço de 40 ° ao norte do oeste (o que significa que um vetor apontando para o oeste foi girado 40 ° para a direção norte) ou que tem uma direção de 65 °. leste do sul (o que significa que um vetor apontando para o sul girou 65 ° para o leste).

2-A direção de um vetor é freqüentemente expressa como um ângulo de giro no sentido anti-horário do vetor. Usando essa convenção, um vetor com uma direção de 30 ° é um vetor que foi girado 30 ° no sentido anti-horário em relação ao leste.

Um vetor com uma direção de 160 ° é um vetor que foi girado em 160 ° no sentido anti-horário em relação ao leste. Um vetor com uma direção de 270 ° é um vetor que foi girado 270 ° no sentido anti-horário em relação ao leste.

Magnitude de um vetor

A magnitude de um vetor em um diagrama vetorial escalado é representada pelo comprimento da seta. A seta é desenhada com um comprimento exato de acordo com uma escala escolhida.

Por exemplo, se você quiser desenhar um vetor que tenha uma magnitude de 20 metros, você pode escolher como escala 1 cm = 5 metros e desenhar uma seta com um comprimento de 4 cm.

Usando a mesma escala (1 cm = 5 metros), um vetor de deslocamento de 15 metros será representado por uma seta vetorial de 3 cm de comprimento.

Da mesma forma, um vetor de deslocamento de 25 metros é representado por uma flecha de 5 cm de comprimento. E finalmente, um vetor de deslocamento de 18 metros é representado por uma flecha de 3,6 cm de comprimento.

Outras características dos vetores

Igualdade: diz-se que dois vetores são iguais se tiverem a mesma magnitude e direção. Equivalente, eles serão iguais se suas coordenadas forem iguais.

Oposição: dois vetores são opostos se tiverem a mesma magnitude, mas direção oposta.

Paralelos: dois vetores são paralelos se tiverem a mesma direção, mas não necessariamente a mesma magnitude, ou antiparalelos, se tiverem a direção oposta, mas não necessariamente a mesma magnitude.

Unidade de vetor: um vetor unitário é qualquer vetor com um comprimento de um.

Vector zero: o vetor zero é o vetor com comprimento zero. Ao contrário de qualquer outro vetor, ele tem uma direção arbitrária ou indeterminada e não pode ser normalizado

Referências

1. Jong IC, Rogers BG. Mecânica de engenharia: estática (1991). Publicação da Saunders College.
2. Ito K. Dicionário Enciclopédico de Matemática (1993). MIT Press.
3. Ivanov AB. Encyclopedia of Mathematics (2001). Springer
4. Kane T. Levinson D. Dynamics Online (1996). Sunnyvale: OnLine Dynamics.
5. Lang S. Introdução à álgebra linear (1986). Springer
6. Niku S. Princípios de engenharia no dia a dia para não engenheiros (2016). Morgan e Claypool.
7. Pedoe D. Geometry: um curso abrangente (1988). Dover