O que são limites trigonométricos? (com exercícios resolvidos)

O limites trigonométricos eles são limites de funções, de modo que essas funções são formadas por funções trigonométricas.

Existem duas definições que devem ser conhecidas para entender como o cálculo de um limite trigonométrico é realizado.

Essas definições são:

- Limite de uma função "f" quando "x" tende para "b": consiste em calcular o valor ao qual f (x) se aproxima como "x" se aproxima de "b", sem atingir "b" "

- Funções trigonométricas: as funções trigonométricas são as funções seno, cosseno e tangente, denotadas por sin (x), cos (x) e tan (x) respectivamente.

As outras funções trigonométricas são obtidas das três funções mencionadas acima.

Limites de funções

Para esclarecer o conceito de limite de uma função, vamos mostrar alguns exemplos com funções simples.

- O limite de f (x) = 3 quando "x" tende a "8" é igual a "3", desde que a função seja sempre constante. Não importa quanto vale "x", o valor de f (x) será sempre "3".

- O limite de f (x) = x-2 quando "x" tende a "6" é "4". Desde quando "x" se aproxima de "6", então "x-2" se aproxima de "6-2 = 4".

- O limite de g (x) = x² quando "x" tende a "3" é igual a 9, desde quando "x" está se aproximando de "3" então "x²" está se aproximando de "3² = 9" .

Como pode ser visto nos exemplos anteriores, o cálculo de um limite consiste em avaliar o valor ao qual "x" tende na função e o resultado será o valor do limite, embora isso seja verdadeiro apenas para funções contínuas.

Existem limites mais complicados?

A resposta é sim. Os exemplos acima são os exemplos mais simples de limites. Nos livros de cálculo, os exercícios de limites principais são aqueles que geram uma indeterminação do tipo 0/0, ∞ / ∞, ∞-∞, 0 * ∞, (1) ^ ∞, (0) ^ 0 e (∞) ^ 0.

Essas expressões são chamadas de indeterminações, uma vez que são expressões que matematicamente não têm significado.

Além disso, dependendo das funções envolvidas no limite original, o resultado obtido na resolução das indeterminações pode ser diferente em cada caso.

Exemplos de limites trigonométricos simples

Para resolver limites, é sempre muito útil conhecer os gráficos das funções envolvidas. Os gráficos das funções seno, cosseno e tangente são mostrados abaixo.

Alguns exemplos de limites trigonométricos simples são:

- Calcule o limite de sin (x) quando "x" tende a "0".

Ao visualizar o gráfico, você pode ver que se "x" está se aproximando de "0" (ambos à esquerda e à direita), então o gráfico seno também está se aproximando de "0". Portanto, o limite de sin (x) quando "x" tende a "0" é "0".

- Calcule o limite de cos (x) quando "x" tende a "0".

Observando o gráfico de cosseno, vê-se que quando "x" está próximo de "0", o gráfico de cosseno está próximo de "1". Isto implica que o limite de cos (x) quando "x" tende a "0" é igual a "1".

Um limite pode existir (ser um número), como nos exemplos anteriores, mas também pode acontecer que ele não exista como mostrado no exemplo a seguir.

- O limite de tan (x) quando "x" tende a "Π / 2" à esquerda é igual a "+ ∞", como pode ser visto no gráfico. Por outro lado, o limite de tan (x) quando "x" tende a "-Π / 2" à direita é igual a "-∞".

Identidades de limites trigonométricos

Duas identidades muito úteis no cálculo dos limites trigonométricos são:

- O limite de "sin (x) / x" quando "x" tende a "0" é igual a "1".

- O limite de "(1-cos (x)) / x" quando "x" tende a "0" é igual a "0".

Essas identidades são usadas com muita frequência quando você tem algum tipo de indeterminação.

Exercícios resolvidos

Resolva os seguintes limites usando as identidades descritas acima.

- Calcular o limite de "f (x) = sin (3x) / x" quando "x" tende para "0".

Se a função "f" é avaliada em "0", uma indeterminação do tipo 0/0 será obtida. Portanto, devemos tentar resolver essa indeterminação usando as identidades descritas.

A única diferença entre esse limite e identidade é o número 3 que aparece dentro da função seno. Para aplicar a identidade, a função "f (x)" deve ser reescrita da seguinte forma "3 * (sin (3x) / 3x)".Agora, tanto o argumento do seno quanto o denominador são iguais.

Então, quando "x" tende a "0", usar a identidade resulta em "3 * 1 = 3". Portanto, o limite de f (x) quando "x" tende a "0" é igual a "3".

- Calcular o limite de "g (x) = 1 / x - cos (x) / x" quando "x" tende para "0".

Quando "x = 0" é substituído em g (x), uma indeterminação do tipo ∞-∞ é obtida. Para resolvê-lo, as frações são subtraídas, o que produz o resultado "(1-cos (x)) / x".

Agora, ao aplicar a segunda identidade trigonométrica, o limite de g (x) quando "x" tende a "0" é igual a 0.

- Calcule o limite de "h (x) = 4tan (5x) / 5x" quando "x" tender para "0".

Novamente, se h (x) for avaliado em "0", uma indeterminação do tipo 0/0 será obtida.

Reescrevendo tan (5x) como sin (5x) / cos (5x) resulta em h (x) = (sen (5x) / 5x) * (4 / cos (x)).

Usando o limite de 4 / cos (x) quando "x" tende a "0" é igual a "4/1 = 4" e a primeira identidade trigonométrica é obtida que o limite de h (x) quando "x" tende um "0" é igual a "1 * 4 = 4".

Observação

Os limites trigonométricos nem sempre são fáceis de resolver. Neste artigo apenas exemplos básicos foram mostrados.

Referências

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