O que são triângulos oblíquos? (com exercícios resolvidos)

O triângulos oblíquos são aqueles triângulos que não são retângulos. Isto é, triângulos tais que nenhum de seus ângulos é um ângulo reto (sua medida é 90º).

Não tendo ângulo reto, o Teorema de Pitágoras não pode ser aplicado a esses triângulos.

Portanto, para conhecer os dados em um triângulo oblíquo, é necessário usar outras fórmulas.

As fórmulas necessárias para resolver um triângulo oblíquo são as chamadas leis de senos e cossenos, que serão descritas mais adiante.

Além dessas leis, o fato de a soma dos ângulos internos de um triângulo ser igual a 180º sempre pode ser usado.

Triângulos oblíquos

Como foi dito no início, um triângulo oblíquo é um triângulo tal que nenhum dos seus ângulos mede 90º.

O problema de encontrar os comprimentos dos lados de um triângulo escaleno e encontrar medidas ângulos, é chamado de "resolução de triângulos Oblique".

Um fato importante ao trabalhar com triângulos é que a soma dos três ângulos internos de um triângulo é igual a 180º. Este é um resultado geral, portanto, para triângulos oblíquos também pode ser aplicado.

Leis de seios e cossenos

Dado um triângulo ABC com lados de comprimento "a", "b" e "c":

- A lei de senos afirma que a / sen (A) = b / sin (B) = c / sin (C), onde A, B e C são o oposto da "a", "b" e "c ângulos "Respectivamente.

- A lei dos cossenos afirma que: c² = a² + b² - 2ab * cos (C). Equivalentemente, as seguintes fórmulas podem ser usadas:

b² = a² + c² - 2ac * cos (B) ou a² = b² + c² - 2bc * cos (A).

Usando essas fórmulas, você pode calcular os dados de um triângulo oblíquo-angular.

Exercícios

Abaixo estão alguns exercícios onde você deve encontrar os dados perdidos dos triângulos dados, a partir de certos dados fornecidos.

Primeiro exercício

Dado um triângulo ABC tal que A = 45º, B = 60º e a = 12cm, calcule os outros dados do triângulo.

Solução

Usando a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º, você tem que

C = 180º-45º-60º = 75º.

Os três ângulos já são conhecidos. Em seguida, use a lei dos seios para calcular os dois lados que estão faltando.

As equações apresentadas são 12 / sin (45º) = b / sin (60º) = c / sin (75º).

Desde a primeira igualdade, você pode limpar "b" e obter

b = 12 * sin (60º) / sin (45º) = 6√6 ≈ 14696 cm.

Você também pode limpar "c" e obter isso

c = 12 * sin (75 °) / sin (45 °) = 6 (1 + √3) ≈ 16, 392 cm.

Segundo exercício

Dado o triângulo ABC tal que A = 60º, C = 75º eb = 10cm, calcule os outros dados do triângulo.

Solução

Como no exercício anterior, B = 180º-60º-75º = 45º. Além disso, utilizando a lei de uma senos tem que um / sen (60) = 10 / sen (45) = c / sen (75 °), a partir da qual resulta que a = 10 * sen (60 °) / sen (45 °) = 5√6 ≈ 12,247 cm e c = 10 * sin (75 °) / sin (45 °) = 5 (1 + √3) ≈ 13,660 cm.

Terceiro Exercício

Dado o triângulo ABC tal que a = 10cm, b = 15cm e C = 80º, calcule os outros dados do triângulo.

Solução

Neste exercício, apenas um ângulo é conhecido, portanto, você não pode começar como fez nos dois exercícios anteriores. Além disso, a lei dos seios não pode ser aplicada porque nenhuma equação poderia ser resolvida.

Portanto, passamos a aplicar a lei dos cossenos. É então que

c² = 10² + 15² - 2 (10) (15) cos (80º) = 325 - 300 * 0.173 ≈ 272.905 cm,

de modo que c ≈ 16,51 cm. Agora, conhecendo os 3 lados, a lei dos seios é usada e você começa

10 / sin (A) = 15 / sin (B) = 16,51 cm / sin (80).

Assim, a limpeza B é sen (B) = 15 * sen (80) / 16,51 ≈ 0,894, o que significa que B ≈ 63.38º.

Agora, pode-se obter que A = 180º - 80º - 63,38º ≈ 36,62º.

Quarto exercício

Os lados de um triângulo oblíquo são a = 5cm, b = 3cm ec = 7cm. Calcule os ângulos do triângulo.

Solução

Novamente, a lei das mamas não pode ser aplicada diretamente, pois nenhuma equação serviria para obter o valor dos ângulos.

Usando a lei de cosseno tem de ser C² = a² + b² - 2AB COS (C), onde o corte tem de cos (C) = (+ a² b² - c²) / 2ab = (+ 5² 3²-7²) / 2 * 5 * 3 = -15/30 = -1/2 e, portanto, C = 120º.

Agora, se você pode aplicar a lei de senos e ganhe 5 / sin (A) = 3 / sin (B) = 7 / sin (120), onde você pode limpar B e conseguir que sem (B) = 3 * sin (120º) / 7 = 0,371, de modo que B = 21,79º.

Finalmente, o último ângulo é calculado usando A = 180º-120º-21,79º = 38,21º.

Referências

1. Landaverde, F.d. (1997). Geometria (Reprint ed.). Progresso
2. Leake, D. (2006). Triângulos (ilustrado ed.). Heinemann-Raintree.
3. Pérez, C. D. (2006). Pré-cálculo Educação Pearson.
4. Ruiz, Á. & Barrantes, H. (2006). Geometrias Tecnologia CR
5. Sullivan, M. (1997). Pré-cálculo Educação Pearson.
6. Sullivan, M. (1997). Trigonometria e Geometria Analítica. Educação Pearson.