Quais tipos de integrais existem?

O tipos de integrais que encontramos no cálculo são: Integrais Indefinidos e Integrais Definidos. Embora integrais definidas tenham muito mais aplicações do que integrais indefinidas, é necessário primeiro aprender a resolver integrais indefinidas.

Uma das aplicações mais atraentes de integrais definidas é o cálculo do volume de um sólido de revolução.

Ambos os tipos de integrais possuem as mesmas propriedades de linearidade e também as técnicas de integração não dependem do tipo de integral.

Mas apesar de ser muito semelhante, há uma diferença principal; no primeiro tipo de integral o resultado é uma função (que não é específica) enquanto no segundo tipo o resultado é um número.

Dois tipos básicos de integrais

O mundo das integrais é muito amplo, mas dentro dele podemos distinguir dois tipos básicos de integrais, que têm grande aplicabilidade na vida cotidiana.

1- Integrais Indefinidas

Se F '(x) = f (x) para todo x no domínio de f, dizemos que F (x) é uma antiderivada, uma primitiva ou uma integral de f (x).

Por outro lado, observamos que (F (x) + C) '= F' (x) = f (x), o que implica que a integral de uma função não é única, uma vez que dando valores diferentes à constante C, obteremos diferentes antiderivados.

Por esta razão, F (x) + C é chamado de Integral Indefinida de f (x) e C é chamado de constante de integração e nós o escrevemos da seguinte maneira.

Como podemos ver, a integral indefinida da função f (x) é uma família de funções.

Por exemplo, se você quiser calcular a integral indefinida da função f (x) = 3x², você deve primeiro encontrar uma antiderivada de f (x).

É fácil notar que F (x) = x³ é uma antiderivada, uma vez que F '(x) = 3x². Portanto, pode-se concluir que

(F (x) dx = ∫3x²dx = x³ + C.

2- Integrais definidos

Seja y = f (x) uma função real, contínua em um intervalo fechado [a, b] e seja F (x) uma antiderivada de f (x). É chamado integral definitivo de f (x) entre os limites a e b para o número F (b) -F (a), e é denotado como segue

A fórmula mostrada acima é mais conhecida como "O Teorema Fundamental do Cálculo". Aqui "a" é chamado de limite inferior e "b" é chamado de limite superior. Como você pode ver, a integral definida de uma função é um número.

Neste caso, se a integral definida de f (x) = 3x² for calculada no intervalo [0,3], um número será obtido.

Para determinar esse número, escolhemos F (x) = x³ como antiderivada de f (x) = 3x². Então, calculamos F (3) -F (0) que nos dá o resultado 27-0 = 27. Em conclusão, a integral definida de f (x) no intervalo [0.3] é 27.

Pode-se destacar que se G (x) = x3 + 3 for escolhido, então G (x) é uma antiderivada de f (x) diferente de F (x), mas isso não afeta o resultado desde G (3) -G ( 0) = (27 + 3) - (3) = 27. Por esse motivo, nas integrais definidas, a constante de integração não aparece.

Uma das aplicações mais úteis deste tipo de integral é que ele permite calcular a área (volume) de uma figura plana (de um sólido de revolução), estabelecendo funções adequadas e limites de integração (e um eixo de rotação).

Dentro das integrais definidas podemos encontrar várias extensões deste como por exemplo integrais de linha, integrais de superfície, integrais impróprios, integrais múltiplos, entre outros, todos com aplicações muito úteis em ciência e engenharia.

Referências

1. Casteleiro, J. M. (2012). É fácil integrar? Manual de auto-aprendizagem. Madri: ESIC.
2. Casteleiro, J. M. e Gómez-Álvarez, R. P. (2002). Cálculo integral (Ed. Ilustrada). Madri: ESIC Editorial.
3. Fleming, W., & Varberg, D.E. (1989). Matemática pré-cálculo. Prentice Hall PTR.
4. Fleming, W., & Varberg, D.E. (1989). Matemática pré-cálculo: uma abordagem de solução de problemas (2, ed. Ilustrada). Michigan: Prentice Hall.
5. Kishan, H. (2005). Cálculo Integral. Atlantic Publishers & Distributors.
6. Purcell, E.J., Varberg, D., & Rigdon, S.E. (2007). Cálculo (Nona ed.). Prentice Hall.