Histórico do Sistema Octal, Sistema de Numeração e Conversões

O sistema octal é um sistema de numeração posicional de base oito (8); isto é, consiste em oito dígitos, que são: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7. Portanto, cada dígito de um número octal pode ter qualquer valor de 0 a 7. Os números octal eles são formados a partir dos números binários.

Isto é assim porque sua base é uma potência exata de dois (2). Ou seja, os números que pertencem ao sistema octal são formados quando estes são agrupados em três dígitos consecutivos, dispostos da direita para a esquerda, obtendo assim seu valor decimal.

Índice

• 1 História
• 2 sistema de numeração Octal
• 3 Conversão do sistema octal em decimal
  • 3.1 Exemplo 1
  • 3,2 Exemplo 2
• 4 Conversão do sistema decimal para o octal
  • 4.1 Exemplo
• 5 Conversão do sistema octal para o binário
• 6 Conversão do sistema binário para o octal
• 7 Conversão do sistema octal para hexadecimal e vice-versa
  • 7.1 Exemplo
• 8 referências

História

O sistema octal tem sua origem na antiguidade, quando as pessoas usavam as mãos para contar oito a oito animais.

Por exemplo, para contar o número de vacas em um celeiro, a mão direita começou a ser contada, unindo o polegar com o dedo mindinho; depois, para contar o segundo animal, juntou-se o polegar com o dedo indicador e assim por diante com os dedos restantes de cada mão, até completar 8.

Existe a possibilidade de que, nos tempos antigos, o sistema de numeração octal fosse usado antes do decimal para poder contar os espaços interdigitais; isto é, conte todos os dedos, exceto os polegares.

Posteriormente, o sistema de numeração octal foi estabelecido, originado do sistema binário, porque ele precisa de muitos dígitos para representar apenas um número; a partir de então, foram criados os sistemas octogonal e hexagonal, que não exigem tantos dígitos e podem ser facilmente convertidos para o sistema binário.

Sistema de Numeração Octal

O sistema octal consiste em oito dígitos que variam de 0 a 7. Eles têm o mesmo valor que no caso do sistema decimal, mas seu valor relativo muda dependendo da posição que ocupam. O valor de cada posição é dado pelos poderes básicos 8.

As posições dos dígitos em um número octal têm os seguintes pesos:

8⁴, 8³, 8², 8¹, 8⁰ponto octal 8^-1, 8^-2, 8^-3, 8^-4, 8^-5.

O maior dígito octal é 7; desta forma, quando este sistema é contado, uma posição de um dígito é aumentada de 0 para 7. Quando atinge 7, é reciclado para 0 para a próxima contagem; Dessa forma, a próxima posição do dígito é aumentada. Por exemplo, para contar sequências, no sistema octal será:

• 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10.
• 53, 54, 55, 56, 57, 60.
• 375, 376, 377, 400.

Existe um teorema fundamental que é aplicado ao sistema octal e é expresso da seguinte forma:

Nesta expressão, di representa o dígito multiplicado pela potência base 8, que indica o valor posicional de cada dígito, da mesma forma que é ordenado no sistema decimal.

Por exemplo, você tem o número 543.2. Para levá-lo ao sistema octal, ele é decomposto da seguinte maneira:

N = Σ [(5 _* 8²) + (4 _* 8¹) + (3 _*8⁰) + (2 _*8^-1)] = (5 * 64) +(4 * 8) + (2*1) + (2 * 0,125)

N = 320 +32 + 2 + 0,25 = 354 + 0,25_d

Dessa forma você tem que 543,2_q = 354,25_d. O subscrito q indica que é um número octal que também pode ser representado pelo número 8; e o subscrito d refere-se ao número decimal, que também pode ser representado pelo número 10.

Conversão do sistema octal em decimal

Para converter um número do sistema octal para seu equivalente no sistema decimal, somente cada dígito octal deve ser multiplicado pelo seu valor posicional, começando pela direita.

Exemplo 1

732₈ = (7_* 8²) + (3_* 8¹) + (2_* 8⁰) = (7 _* 64) + (3 _* 8) + (2 _* 1)

732₈= 448 +24 +2

732₈= 474₁₀

Exemplo 2

26,9₈ = (2 _*8¹) + (6_* 8⁰) + (9_* 8^-1) = (2 _* 8) + (6 _* 1) + (9 _* 0,125)

26,9₈ = 16 + 6 + 1,125

26,9₈= 23,125₁₀

Conversão do sistema decimal para o octal

Um inteiro decimal pode ser convertido em um número octal usando o método de divisão repetida, onde o inteiro decimal é dividido por 8 até que o quociente seja igual a 0, e os resíduos de cada divisão representarão o número octal.

O lixo é classificado do último para o primeiro; isto é, o primeiro resíduo será o dígito menos significativo do número octal. Dessa forma, o dígito mais significativo será o último resíduo.

Exemplo

Octal do número decimal 266₁₀

- Divida o número decimal 266 entre 8 = 266/8 = 33 + residual de 2.

- Então o 33 é dividido por 8 = 33/8 = 4 + resíduo de 1.

- Divida 4 por 8 = 4/8 = 0 + residual de 4.

Como na última divisão, um quociente menor que 1 é obtido, isto significa que o resultado foi encontrado; somente os restos devem ser ordenados de maneira inversa, de forma que o número octal do decimal 266 seja 412, como pode ser visto na imagem a seguir:

Conversão do sistema octal para o binário

A conversão do sistema octal para o binário é realizada convertendo-se o dígito octal em seu dígito binário equivalente, formado por três dígitos. Há uma tabela que mostra como os oito dígitos possíveis são convertidos:

A partir dessas conversões, qualquer número do sistema octal para o binário pode ser alterado, por exemplo, para converter o número 572₈ seus equivalentes são pesquisados ​​na tabela. Então você tem que:

5₈ = 101

7₈=111

2₈ = 10

Portanto, 572₈ equivalente no sistema binário para 10111110.

Conversão do sistema binário para o octal

O processo de conversão de números inteiros binários em números inteiros octais é a operação inversa ao processo anterior.

Ou seja, os bits do número binário são agrupados em dois grupos de três bits, começando da direita para a esquerda. Então, a conversão binário para octal é feita com a tabela anterior.

Em alguns casos, o número binário não terá grupos de 3 bits; para completá-lo, adicione um ou dois zeros à esquerda do primeiro grupo.

Por exemplo, para alterar o número binário 11010110 para octal, é feito o seguinte:

- Grupos de 3 bits são formados a partir da direita (último bit):

11010110

- Como o primeiro grupo está incompleto, um zero é adicionado à esquerda:

011010110

- A conversão é feita a partir da tabela:

011 = 3

010 = 2

110 = 6

Assim, o número binário 011010110 é equivalente a 326₈.

Conversão do sistema octal para o hexadecimal e vice-versa

Para fazer a mudança de um número octal para o sistema hexadecimal ou de hexadecimal para octal, é necessário primeiro converter o número em binário e, em seguida, no sistema desejado.

Para isso, existe uma tabela onde cada dígito hexadecimal é representado com sua equivalência no sistema binário, consistindo de quatro dígitos.

Em alguns casos, o número binário não terá grupos de 4 bits; para completá-lo, adicione um ou dois zeros à esquerda do primeiro grupo

Exemplo

Converta o número octal 1646 em um número hexadecimal:

- O número de octal para binário é convertido

1₈ = 1

6₈ = 110

4₈ = 100

6₈ = 110

- Então, 1646₈ = 1110100110.

- Para converter de binário para hexadecimal, eles são ordenados primeiro em um grupo de 4 bits, começando da direita para a esquerda:

11 1010 0110

- O primeiro grupo é completado com zeros, para que possa ter 4 bits:

0011 1010 0110

- A conversão do sistema binário para o hexadecimal é feita. As equivalências são substituídas por meio da tabela:

0011 = 3

1010 = A

0110 = 6

Assim, o número octal 1646 é equivalente a 3A6 no sistema hexadecimal.

Referências

1. Bressan, A. E. (1995). Introdução aos sistemas de numeração. Universidade Argentina da Companhia.
2. Harris, J. N. (1957). Introdução aos Sistemas de Numeração Binários e Octais: Lexington, Massachusetts. Agência de Informação Técnica de Serviços Armados.
3. Kumar, A. A. (2016). Fundamentos de circuitos digitais. Aprendizagem Pvt.
4. Peris, X. C. (2009). Sistemas Operacionais Monopuesto.
5. Ronald J. Tocci, N. S. (2003). Sistemas digitais: princípios e aplicações. Educação Pearson.