Regra de Sarrus no que consiste e tipos de determinantes

O Regra de Sarrus é usado para calcular o resultado de determinantes de 3 × 3. Estes são usados ​​para resolver equações lineares e saber se são compatíveis.

Sistemas compatíveis permitem que você obtenha a solução mais facilmente. Eles também são usados ​​para determinar se conjuntos de vetores são linearmente independentes e formam a base do espaço vetorial.

Essas aplicações são baseadas na invertibilidade das matrizes. Se uma matriz é regular, seu determinante é diferente de 0. Se ela é singular, seu determinante é 0. Os determinantes só podem ser calculados em matrizes quadradas.

Para calcular matrizes de qualquer ordem, o teorema de Laplace pode ser usado. Este teorema permite simplificar as matrizes de altas dimensões, em somas de pequenos determinantes que se decompõem da matriz principal.

Afirma que o determinante de uma matriz é igual à soma dos produtos de cada linha ou coluna, pelo determinante de sua matriz anexada.

Isto está reduzindo os determinantes de modo que um determinante de grau n, se torne n determinantes de n-1. Se aplicarmos essa regra sucessivamente, podemos obter determinantes da dimensão 2 (2 × 2) ou 3 (3 × 3), onde é muito mais fácil calcular.

Regra de Sarrus

Pierre Frederic Sarrus foi um matemático francês do século XIX. A maioria de seus tratados matemáticos são baseados em métodos de resolver equações e calcular variações, dentro das equações numéricas.

Em um de seus tratados, ele resolveu um dos mais complexos enigmas da mecânica. Para resolver os problemas das partes articuladas, Sarrus introduziu a transformação de movimentos retilíneos alternativos, em movimentos circulares uniformes. Este novo sistema é conhecido como o mecanismo Sarrus.

A pesquisa mais famosa que ele deu a esse matemático foi em que ele introduziu um novo método de cálculo de determinantes, no artigo "Novos métodos para a solução de equações", que foi publicado no ano 1833. Esta maneira de resolver equações lineares é conhecida como a regra de Sarrus.

A regra de Sarrus permite calcular o determinante de uma matriz 3 × 3, sem precisar usar o teorema de Laplace, introduzindo um método muito mais simples e intuitivo. Para poder verificar o valor da regra Sarrus, tomamos qualquer matriz de dimensão 3:

O cálculo do seu determinante seria feito pelo produto de suas principais diagonais, subtraindo-se o produto das diagonais inversas. Isso seria o seguinte:

A regra de Sarrus nos permite obter uma visão muito mais simples ao calcular as diagonais do determinante. Seria simplificado adicionando as duas primeiras colunas ao verso da matriz. Desta forma, você pode ver mais claramente quais são as suas principais diagonais e quais são o inverso, para o cálculo do produto.

Através desta imagem podemos ver a aplicação da regra de Sarrus, incluímos as linhas 1 e 2, abaixo da representação gráfica da matriz inicial. Desta forma, as principais diagonais são as três diagonais que aparecem em primeiro lugar.

As três diagonais inversas, por sua vez, são aquelas que aparecem primeiro nas costas.

Dessa forma, as diagonais aparecem de forma mais visual, sem complicar a resolução do determinante, tentando descobrir quais elementos da matriz pertencem a cada diagonal.

Como aparece na imagem, escolhemos as diagonais e calculamos o produto resultante de cada função. As diagonais que aparecem em azul são aquelas que se somam. Para a soma destes, subtraímos o valor das diagonais que aparecem em vermelho.

Para facilitar a compactação, podemos usar um exemplo numérico, em vez de usar termos e sub-termos algébricos.

Se tomarmos qualquer matriz 3 × 3, por exemplo:

Para aplicar a regra de Sarrus e resolvê-lo de uma forma mais visual, devemos incluir as linhas 1 e 2, como linhas 4 e 5, respectivamente. É importante manter a linha 1 na quarta posição e a linha 2 na quinta posição. Porque se os trocarmos, a Regra de Sarrus não será eficaz.

Para calcular o determinante, nossa matriz ficaria assim:

Para continuar com o cálculo, multiplicamos os elementos das principais diagonais. Os descendentes que começam pela esquerda, terão sinal positivo; enquanto as diagonais reversas, que são aquelas que começam à direita, carregam um sinal negativo.

Neste exemplo, os azuis iriam com um sinal positivo e os vermelhos com um sinal negativo. O cálculo final da regra de Sarrus seria assim:

Tipos de determinantes

Determinante da dimensão 1

Se a dimensão da matriz é 1, a matriz é assim: A = (a)

Portanto, seu determinante seria o seguinte: det (A) = | A | = a

Em resumo, o determinante da matriz A é igual ao valor absoluto da matriz A, que neste caso é a.

Determinante da dimensão 2

Se formos para matrizes de dimensão 2, obtemos matrizes do tipo:

Onde seu determinante é definido como:

A resolução deste determinante baseia-se na multiplicação da sua diagonal principal, subtraindo o produto da sua diagonal inversa.

Como uma regra mnemônica, podemos usar o diagrama a seguir para lembrar seu determinante:

Determinante da dimensão 3

Se a dimensão da matriz é 3, a matriz resultante seria deste tipo:

O determinante desta matriz seria resolvido através da regra de Sarrus desta maneira:

Referências

1. Jenny Olive (1998) Maths: Guia de Sobrevivência de um Aluno. Cambridge University Press.
2. Richard J. Brown (2012) 30-Second Maths: As 50 teorias que mais expandem a mente na matemática. Ivy Press Limited.
3. Dave Kirkby (2004) Maths Connect. Heinemann
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6. Jesse Russell (2012) Regra de Sarrus.
7. M. Casteleiro Villalba (2004) Introdução à álgebra linear. ESIC Editorial.