Técnicas de contagem técnica, aplicações e exemplos

O técnicas de contagem são uma série de métodos de probabilidade para contar o número possível de arranjos dentro de um conjunto ou vários conjuntos de objetos. Estes são usados ​​quando as contas são complicadas manualmente devido ao grande número de objetos e / ou variáveis.

Por exemplo, a solução para esse problema é muito simples: imagine que seu chefe lhe peça para contar os últimos produtos que chegaram na última hora. Neste caso você poderia ir e contar os produtos um por um.

No entanto, imagine que o problema seja este: seu chefe lhe pede para contar quantos grupos de 5 produtos do mesmo tipo podem ser formados com aqueles que atingiram a última hora. Nesse caso, o cálculo é complicado. As chamadas técnicas de contagem são usadas para esse tipo de situação.

Essas técnicas são várias, mas as mais importantes são divididas em dois princípios básicos, que são o multiplicativo e o aditivo; permutações e combinações.

Índice

• 1 princípio multiplicativo
  • 1.1 Aplicações
  • 1.2 Exemplo
• 2 Princípio Aditivo
  • 2.1 Aplicações
  • 2.2 Exemplo
• 3 Permutações
  • 3.1 Aplicações
  • 3.2 Exemplo
• 4 combinações
  • 4.1 Aplicações
  • 4.2 Exemplo
• 5 referências

Princípio Multiplicativo

Aplicações

O princípio multiplicativo, juntamente com o aditivo, é básico para entender o funcionamento das técnicas de contagem. No caso do multiplicativo, consiste no seguinte:

Imagine uma atividade que envolva um número específico de etapas (o total é marcado como "r"), onde a primeira etapa pode ser feita de formas N1, a segunda etapa de N2 e a etapa "r" de formulários Nr. Nesse caso, a atividade poderia ser executada a partir do número de formulários resultantes dessa operação: N1 x N2 x ... .x Nr forms

É por isso que esse princípio é chamado de multiplicativo, e implica que todos e cada um dos passos necessários para realizar a atividade devem ser feitos um após o outro.

Exemplo

Vamos imaginar uma pessoa que queira construir uma escola. Para fazer isso, considere que a base do edifício pode ser construída de duas maneiras diferentes, cimento ou concreto. Quanto às paredes, elas podem ser feitas de adobe, cimento ou tijolo.

Quanto ao telhado, pode ser construído em cimento ou chapa galvanizada. Finalmente, a pintura final só pode ser feita de uma maneira. A questão que surge é a seguinte: quantas maneiras a escola tem de construir?

Primeiro, consideramos o número de degraus, que seriam a base, as paredes, o telhado e a pintura. No total, 4 etapas, então r = 4.

A próxima coisa seria listar o N:

N1 = maneiras de construir a base = 2

N2 = maneiras de construir as paredes = 3

N3 = maneiras de fazer o telhado = 2

N4 = maneiras de fazer tinta = 1

Portanto, o número de formas possíveis seria calculado pela fórmula descrita acima:

N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 maneiras de fazer escola.

Princípio Aditivo 

Aplicações

Este princípio é muito simples, e consiste no fato de que, no caso de existirem várias alternativas para realizar a mesma atividade, as formas possíveis consistem na soma das diferentes maneiras possíveis de realizar todas as alternativas.

Em outras palavras, se quisermos realizar uma atividade com três alternativas, onde a primeira alternativa pode ser feita nas formas M, a segunda nas formas N e a última nas formas W, a atividade pode ser feita em: M + N + ... + W forms .

Exemplo

Imagine desta vez uma pessoa que queira comprar uma raquete de tênis. Para isso, tem três marcas para escolher: Wilson, Babolat ou Head.

Quando ele vai à loja, ele vê que a raquete Wilson pode ser comprada com o cabo de dois tamanhos diferentes, L2 ou L3, em quatro modelos diferentes e pode ser amarrado ou sem amarrar.

A raquete Babolat, por outro lado, tem três alças (L1, L2 e L3), existem dois modelos diferentes e também pode ser amarrada ou sem amarras.

A raquete Head, por outro lado, é apenas com uma alça, a L2, em dois modelos diferentes e apenas sem amarrar. A questão é: quantas maneiras essa pessoa tem de comprar sua raquete?

M = Número de maneiras de selecionar uma raquete de Wilson

N = Número de maneiras de selecionar uma raquete Babolat

W = Número de maneiras de selecionar uma raquete principal

Nós fazemos o princípio multiplicador:

M = 2 x 4 x 2 = 16 formas

N = 3 x 2 x 2 = 12 formulários

W = 1 x 2 x 1 = 2 formulários

M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 maneiras de escolher uma raquete.

Para saber quando usar o princípio multiplicativo e o aditivo, basta observar se a atividade tem uma série de etapas a serem executadas e se existem várias alternativas, o aditivo.

Permutações

Aplicações

Para entender o que é uma permutação, é importante explicar o que é uma combinação para diferenciá-las e saber quando usá-las.

Uma combinação seria um arranjo de elementos em que não estamos interessados ​​na posição que cada um deles ocupa.

Uma permutação, por outro lado, seria um arranjo de elementos nos quais estamos interessados ​​na posição que cada um deles ocupa.

Vamos dar um exemplo para entender melhor a diferença.

Exemplo

Imagine uma aula com 35 alunos e com as seguintes situações:

1. O professor quer que três de seus alunos o ajudem a manter a aula limpa ou entregar materiais para os outros alunos quando ele precisar.
2. O professor quer indicar os delegados da classe (um presidente, um assistente e um financista).

A solução seria a seguinte:

1. Imagine que, votando Juan, María e Lucía são escolhidas para limpar a aula ou entregar os materiais. Obviamente, outros grupos de três pessoas poderiam ter se formado entre os 35 possíveis alunos.

Devemos nos perguntar o seguinte: a ordem ou a posição que cada um dos alunos ocupa no momento de selecioná-los é importante?

Se pensarmos sobre isso, vemos que isso realmente não é importante, já que o grupo cuidará das duas tarefas igualmente. Neste caso, é uma combinação, já que não estamos interessados ​​na posição dos elementos.

2. Agora imagine que John seja escolhido como presidente, Maria como assistente e Lucia como financeira.

Nesse caso, a ordem seria importante? A resposta é sim, porque se mudarmos os elementos, o resultado muda. Ou seja, se em vez de colocar Juan como presidente, o colocamos como assistente, e Maria como presidente, o resultado final mudaria. Neste caso, é uma permutação.

Uma vez que a diferença seja entendida, obteremos as fórmulas de permutações e combinações. No entanto, primeiro devemos definir o termo "n!" (Fatorial), pois ele será usado nas diferentes fórmulas.

n! = para o produto de 1 a n.

n! = 1 x 2 x 3 x 4 x ... x n

Usando com números reais:

10! = 1 x 2 x 3 x 4 x ... x 10 = 3.628.800

5! = 1 x 2 x 3 x 4 x ... x 5 = 120

A fórmula das permutações seria a seguinte:

nPr = n! / (n-r)!

Com isso, podemos descobrir os arranjos em que a ordem é importante e onde os n elementos são diferentes.

Combinações

Aplicações

Como já comentamos anteriormente, as combinações são os arranjos nos quais não nos importamos com a posição dos elementos.

Sua fórmula é a seguinte:

nCr = n! / (n-r)! r!

Exemplo

Se houver 14 estudantes que desejam se voluntariar para limpar a sala de aula, quantos grupos de limpeza cada grupo pode formar por 5 pessoas?

A solução, portanto, seria a seguinte:

n = 14, r = 5

14C5 = 14! / (14 - 5)! 5! = 14! / 9! 5! = 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9! / 9! 5! = Grupos de 2002

Referências 

1. Jeffrey, R.C.Probabilidade e a Arte do Julgamento, Cambridge University Press. (1992).
2. William Feller, "Uma introdução à teoria da probabilidade e suas aplicações", (Vol 1), 3ª Ed, (1968), Wiley
3. Finetti, Bruno de (1970). "Fundamentos lógicos e medição da probabilidade subjetiva". Ato Psicológico.
4. Hogg, Robert V. Craig, Allen; McKean, Joseph W. (2004).Introdução às Estatísticas Matemáticas (6a ed.). Upper Saddle River: Pearson.
5. Franklin, J. (2001)A ciência da conjectura: evidência e probabilidade antes de PascalImprensa da Universidade Johns Hopkins.