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Antecedentes Históricos da Geometria Analítica
O Antecedentes históricos da geometria analítica eles remontam ao século 17, quando Pierre de Fermat e René Descartes definiram sua ideia fundamental. Sua invenção seguiu a modernização da álgebra e a notação algébrica de François Viète.
Este campo tem suas bases na Grécia Antiga, especialmente nas obras de Apolônio e Euclides, que tiveram grande influência nessa área da matemática.
A ideia essencial por trás da geometria analítica é que uma relação entre duas variáveis, de modo que uma é uma função da outra, define uma curva.
Esta ideia foi desenvolvida pela primeira vez por Pierre de Fermat. Graças a essa estrutura essencial, Isaac Newton e Gottfried Leibniz conseguiram desenvolver o cálculo.
O filósofo francês Descartes também descobriu uma abordagem algébrica da geometria, aparentemente por conta própria. O trabalho de Descartes sobre geometria aparece em seu famoso livro Discurso do método.
Neste livro, salienta-se que a bússola e as construções geométricas das bordas retas envolvem adição, subtração, multiplicação e raízes quadradas.
A geometria analítica representa a união de duas importantes tradições da matemática: geometria como o estudo da forma e aritmética e álgebra, que tem a ver com quantidade ou números. Portanto, a geometria analítica é o estudo do campo da geometria usando sistemas de coordenadas.
História
Antecedentes da geometria analítica
A relação entre geometria e álgebra evoluiu ao longo da história da matemática, embora a geometria tenha atingido um grau de maturidade anterior.
Por exemplo, o matemático grego Euclid conseguiu organizar muitos resultados em seu livro clássico Os elementos.
Mas foi o antigo grego Apolônio de Perga que previu o desenvolvimento da geometria analítica em seu livro Cônica. Ele definiu uma cônica como a interseção entre um cone e um plano.
Usando os resultados de Euclides círculos semelhantes e secantes triângulos, encontrado uma deixada por distâncias de qualquer ponto "P" de um cónicas duas linhas perpendiculares, o eixo principal de um cone e a tangente no ponto final da relação entre os eixos. Apolônio usou esse relacionamento para deduzir as propriedades fundamentais das cônicas.
O desenvolvimento subseqüente de sistemas de coordenadas em matemática emergiu somente depois que a álgebra amadureceu graças a matemáticos islâmicos e indianos.
Até que a geometria do Renascimento fosse usada para justificar soluções para problemas algébricos, mas não havia muito que a álgebra pudesse contribuir para a geometria.
Essa situação mudaria com a adoção de uma notação conveniente para as relações algébricas e o desenvolvimento do conceito de uma função matemática, que agora era possível.
Século XVI
No final do século XVI, o matemático francês François Viète introduziu a primeira notação algébrica sistemática, usando letras para representar quantidades numéricas, conhecidas e desconhecidas.
Ele também desenvolveu poderosos métodos gerais para trabalhar expressões algébricas e resolver equações algébricas.
Graças a isso, os matemáticos não eram completamente dependentes de figuras geométricas e intuição geométrica para resolver problemas.
Mesmo alguns matemáticos começaram a abandonar o modo de pensar geométrico padrão, segundo o qual as variáveis lineares de comprimentos e quadrados correspondem a áreas, enquanto as variáveis cúbicas correspondem aos volumes.
Os primeiros a dar este passo foram o filósofo e matemático René Descartes e o advogado e matemático Pierre de Fermat.
Fundação de geometria analítica
Descartes e Fermat fundaram independentemente a geometria analítica durante a década de 1630, adotando a álgebra de Viète para o estudo do locus.
Esses matemáticos perceberam que a álgebra era uma ferramenta de grande poder na geometria e inventaram o que hoje é conhecido como geometria analítica.
Um avanço que eles fizeram foi superar Viète usando letras para representar distâncias variáveis em vez de fixas.
equações de Descartes usado para estudar curvas definidas geometricamente, e destacou a necessidade de considerar curvas gerais algébrica-gráficos de equações polinomiais nas classes "x" e "y".
De sua parte, Fermat enfatizou que qualquer relação entre as coordenadas "x" e "e" determina uma curva.
Usando essas idéias, ele reestruturou as declarações de Apolônio sobre termos algébricos e restaurou alguns de seus trabalhos perdidos.
Fermat indicou que qualquer equação quadrática em "x" e "y" pode ser colocada na forma padrão de uma das seções cônicas. Apesar disso, Fermat nunca publicou seu trabalho sobre o assunto.
Graças a seus avanços, o que Arquimedes conseguiu resolver com grande dificuldade e para casos isolados, Fermat e Descartes conseguiram resolvê-lo rapidamente e para um grande número de curvas (agora conhecidas como curvas algébricas).
Mas suas idéias só ganharam aceitação geral através dos esforços de outros matemáticos na segunda metade do século XVII.
Os matemáticos Frans van Schooten, Florimond de Beaune e Johan de Witt ajudaram a expandir o trabalho de Decartes e acrescentaram material adicional importante.
Influência
Na Inglaterra, John Wallis popularizou a geometria analítica. Ele usou equações para definir as cônicas e derivar suas propriedades. Embora ele tenha usado coordenadas negativas livremente, foi Isaac Newton quem usou dois eixos oblíquos para dividir o plano em quatro quadrantes.
Newton e o alemão Gottfried Leibniz revolucionaram a matemática no final do século XVII, demonstrando independentemente o poder do cálculo.
Newton demonstrou a importância dos métodos analíticos na geometria e seu papel na computação, quando afirmou que qualquer cubo (ou qualquer curva algébrica de terceiro grau) possui três ou quatro equações padrão para eixos de coordenadas adequadas. Com a ajuda do próprio Newton, o matemático escocês John Stirling testou em 1717.
Geometria analítica de três e mais dimensões
Embora Descartes e Fermat tenham sugerido o uso de três coordenadas para o estudo de curvas e superfícies no espaço, a geometria analítica tridimensional desenvolveu-se lentamente até 1730.
Os matemáticos Euler, Hermann e Clairaut produziram equações gerais para cilindros, cones e superfícies de revolução.
Por exemplo, Euler usou equações para traduções no espaço para transformar a superfície quadrática geral, de modo que seus eixos principais coincidissem com seus eixos coordenados.
Euler, Joseph-Louis Lagrange e Gaspard Monge fizeram geometria analítica independente da geometria sintética (não analítica).
Referências
- O desenvolvimento da geometria analítica (2001). Recuperado de encyclopedia.com
- História da geometria analítica (2015). Recuperado de maa.org
- Análise (Matemática). Recuperado de britannica.com
- Geometria analítica. Recuperado de britannica.com
- Descartes e o nascimento da geometria analítica. Recuperado de sciencedirect.com