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Cálculo de Aproximações Usando o Diferencial
Uma aproximação em matemática é um número que não é o valor exato de alguma coisa, mas está tão próximo dela que é considerado tão útil quanto esse valor exato.
Quando as aproximações são feitas em matemática, é porque manualmente é difícil (ou às vezes impossível) saber o valor exato do que é desejado.
A principal ferramenta ao trabalhar com aproximações é o diferencial de uma função.
O diferencial de uma função f, denotada por Δf (x), não é mais que a derivada da função f multiplicada pela mudança na variável independente, isto é, Δf (x) = f '(x) * Δx.
Às vezes df e dx são usados em vez de Δf e Δx.
Aproximações usando o diferencial
A fórmula que é aplicada para fazer uma aproximação através do diferencial surge apenas da definição da derivada de uma função como um limite.
Esta fórmula é dada por:
f (x) ≈ f (x0) + f '(x0) * (x-x0) = f (x0) + f' (x0) * Δx.
Aqui entende-se que Δx = x-x0, portanto, x = x0 + Δx. Usando isso, a fórmula pode ser reescrita como
f (x0 + Δx) ≈ f (x0) + f '(x0) * Δx.
Deve-se notar que "x0" não é um valor arbitrário, mas é um valor tal que f (x0) é facilmente conhecido; Além disso, "f (x)" é apenas o valor que queremos aproximar.
Existem melhores abordagens?
A resposta é sim. A anterior é a mais simples das aproximações chamadas de "aproximação linear".
Para aproximações de melhor qualidade (o erro é menor) são utilizados polinômios com mais derivados chamados "polinômios de Taylor", assim como outros métodos numéricos como o método de Newton-Raphson, entre outros.
Estratégia
A estratégia a seguir é:
- Escolha uma função apropriada f para realizar a aproximação e o valor "x" tal que f (x) é o valor a ser aproximado.
- Escolha um valor "x0", próximo de "x", de modo que f (x0) seja fácil de calcular.
- Calcule Δx = x-x0.
- Calcular a derivada da função e f '(x0).
- Substitua os dados na fórmula.
Exercícios de aproximação resolvidos
No que continua, há uma série de exercícios em que as aproximações são feitas usando o diferencial.
Primeiro exercício
Aproximadamente √3.
Solução
Seguindo a estratégia, uma função apropriada deve ser escolhida. Neste caso, pode ser visto que a função a ser escolhida deve ser f (x) = √x e o valor aproximado é f (3) = √3.
Agora devemos escolher um valor "x0" próximo a "3" para que f (x0) seja fácil de calcular. Se você escolher "x0 = 2" você tem que "x0" está perto de "3" mas f (x0) = f (2) = √2 não é fácil de calcular.
O valor de "x0" que é conveniente é "4", porque "4" está perto de "3" e também f (x0) = f (4) = √4 = 2.
Se "x = 3" e "x0 = 4", então Δx = 3-4 = -1. Agora vamos continuar a calcular a derivada de f. Isto é, f '(x) = 1/2 * √x, de modo que f' (4) = 1 / 2√4 = 1/2 * 2 = 1/4.
Substituindo todos os valores da fórmula você obtém:
√3 = f (3) ≈ 2 + (1/4) * (- 1) = 2 - 1/4 = 7/4 = 1,75.
Se uma calculadora é usada, obtém-se que √3≈1.73205 ... Isto mostra que o resultado anterior é uma boa aproximação do valor real.
Segundo exercício
Aproximadamente √10.
Solução
Como antes, é escolhido como uma função f (x) = √x e neste caso x = 10.
O valor de x0 que deve ser escolhido neste momento é "x0 = 9". Temos então Δx = 10-9 = 1, f (9) = 3 e f '(9) = 1 / 2√9 = 1/2 * 3 = 1/6.
Ao avaliar na fórmula, você obtém
√10 = f (10) ≈ 3 + 1 * 1/6 = 3 + 1/6 = 19/6 = 3,1666 ...
Usando uma calculadora você obtém que √10 ≈ 3.1622776 ... Aqui você também pode ver que uma boa aproximação foi obtida antes.
Terceiro exercício
Aproximadamente ³√10, onde ³√ denota a raiz cúbica.
Solução
Claramente, a função que deve ser usada neste exercício é f (x) = ³√x e o valor de "x" deve ser "10".
Um valor próximo a "10" de tal forma que sua raiz cúbica é conhecida é "x0 = 8". Então temos que Δx = 10-8 = 2 e f (x0) = f (8) = 2. Também temos que f '(x) = 1/3 * ³√x², e consequentemente f' (8) = 1/3 * ³√8² = 1/3 * ³√64 = 1/3 * 4 = 1/12.
Substituindo os dados na fórmula, obtém-se que:
³√10 = f (10) ≈ 2 + (1/12) * 2 = 2 + 1/6 = 13/6 = 2.166666 ....
A calculadora diz que ³√10 ≈ 2.15443469 ... Portanto, a aproximação encontrada é boa.
Quarto exercício
Approxime ln (1.3), onde "ln" denota a função de logaritmo natural.
Solução
Primeiro, a função f (x) = ln (x) é escolhida e o valor de "x" é 1.3. Agora, sabendo um pouco sobre a função logaritmo, podemos saber que ln (1) = 0, e também "1" está próximo de "1.3".Portanto, "x0 = 1" é escolhido e, portanto, Δx = 1,3 - 1 = 0,3.
Por outro lado, f '(x) = 1 / x, de modo que f' (1) = 1. Ao avaliar na fórmula dada, você deve:
ln (1.3) = f (1.3) ≈ 0 + 1 * 0,3 = 0,3.
Ao usar uma calculadora você tem que ln (1.3) ≈ 0.262364 ... Então a aproximação feita é boa.
Referências
- Fleming, W., & Varberg, D.E. (1989). Matemática pré-cálculo. Prentice Hall PTR.
- Fleming, W., & Varberg, D.E. (1989). Matemática pré-cálculo: uma abordagem de solução de problemas (2, ed. Ilustrada). Michigan: Prentice Hall.
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- Larson, R. (2010). Pré-cálculo (8 ed.) Cengage Learning
- Leal, J.M. & Viloria, N.G. (2005). Geometria Analítica Plana. Mérida - Venezuela: Editorial Venezolana C. A.
- Pérez, C. D. (2006). Pré-cálculo Educação Pearson.
- Purcell, E.J., Varberg, D., & Rigdon, S.E. (2007). Cálculo (Nona ed.). Prentice Hall.
- Saenz, J. (2005). Cálculo diferencial com funções transcendentais precoces para Ciência e Engenharia (Segunda edição, ed.) Hipotenusa.
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- Sullivan, M. (1997). Pré-cálculo Educação Pearson.