Como obter uma área do Pentágono?

O área de um pentágono é calculada por um método conhecido como triangulação, que pode ser aplicado a qualquer polígono. Este método consiste em dividir o pentágono em vários triângulos.

Depois disso, a área de cada triângulo é calculada e, finalmente, todas as áreas encontradas são adicionadas. O resultado será a área do pentágono.

O pentágono também pode ser dividido em outras formas geométricas, como um trapézio e um triângulo, como a figura à direita.

O problema é que o comprimento da base principal e a altura do trapézio não são fáceis de calcular. Além disso, a altura do triângulo vermelho deve ser calculada.

Como calcular a área de um pentágono?

O método geral para calcular a área de um pentágono é a triangulação, mas o método pode ser direto ou um pouco mais, dependendo se o pentágono é regular ou não.

Área de um pentágono regular

Antes de calcular a área, é necessário saber o que é o apótema.

O apótema de um pentágono regular (polígono regular) é a menor distância do centro do pentágono (polígono) ao ponto médio de um lado do pentágono (polígono).

Em outras palavras, o apótema é o comprimento do segmento de linha que vai do centro do pentágono até o ponto médio de um lado.

Considere um pentágono regular de tal forma que o comprimento de seus lados seja "L". Para calcular o seu apótema, primeiro divida o ângulo central α entre o número de lados, isto é, α = 360º / 5 = 72º.

Agora, usando as relações trigonométricas, o comprimento do apótema é calculado como mostrado na imagem a seguir.

Portanto, o apótema tem um comprimento de L / 2 tan (36 °) = L / 1,45.

Ao fazer a triangulação do pentágono, uma figura como a abaixo será obtida.

Os 5 triângulos têm a mesma área (porque é um pentágono regular). Portanto, a área do pentágono é 5 vezes a área de um triângulo. Ou seja: área de um pentágono = 5 * (L * ap / 2).

Substituindo o valor do apótema, obtemos que a área é A = 1,72 * L².

Portanto, para calcular a área de um pentágono regular, você só precisa saber o comprimento de um lado.

Área de um pentágono irregular

Começa de um pentágono irregular, de tal forma que os comprimentos de seus lados são L1, L2, L3, L4 e L5. Neste caso, o apótema não pode ser usado como foi usado antes.

Depois de fazer a triangulação você obtém uma figura como a seguinte:

Agora vamos desenhar e calcular as alturas destes 5 triângulos interiores.

Então, as áreas dos triângulos internos são T1 = L1 * h1 / 2, T2 = L2 * h2 / 2, T3 = L3 * h3 / 2, T4 = L4 * h4 / 2 e T5 = L5 * h5 / 2.

Os valores correspondentes a h1, h2, h3, h4 e h5 são as alturas de cada triângulo, respectivamente.

Finalmente, a área do pentágono é a soma dessas 5 áreas. Ou seja, A = T1 + T2 + T3 + T4 + T5.

Como você pode ver, calcular a área de um pentágono irregular é mais complexo do que calcular a área de um pentágono regular.

Determinante de Gauss

Existe também outro método pelo qual você pode calcular a área de qualquer polígono irregular, conhecido como o determinante Gaussiano.

Este método consiste em desenhar o polígono no plano cartesiano e calcular as coordenadas de cada vértice.

Os vértices são listados no sentido anti-horário e, finalmente, determinados determinantes são calculados para finalmente obter a área do polígono em questão.

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