Qual é a Soma dos Quadrados de dois Números Consecutivos?

Para saber qual é a soma dos quadrados de dois números consecutivos, você pode encontrar uma fórmula, com a qual é suficiente substituir os números envolvidos para obter o resultado.

Esta fórmula pode ser encontrada de um modo geral, isto é, pode ser usada para qualquer par de números consecutivos.

Ao dizer "números consecutivos", um está implicitamente dizendo que ambos os números são inteiros. E falando de "os quadrados" está se referindo ao quadrado de cada número.

Por exemplo, se os números 1 e 2 são considerados, seus quadrados são 1² = 1 e 2² = 4, portanto, a soma dos quadrados é 1 + 4 = 5.

Por outro lado, se os números 5 e 6 forem tomados, seus quadrados são 5² = 25 e 6² = 36, pelo que a soma dos quadrados é 25 + 36 = 61.

Qual é a soma dos quadrados de dois números consecutivos?

O objetivo agora é generalizar o que foi feito nos exemplos anteriores. Para isso, é necessário encontrar uma maneira geral de escrever um número inteiro e seu inteiro consecutivo.

Se dois inteiros consecutivos forem observados, por exemplo, 1 e 2, pode-se ver que 2 pode ser escrito como 1 + 1. Além disso, se olharmos para os números 23 e 24, concluímos que 24 podem ser escritos como 23 + 1.

Para números inteiros negativos, esse comportamento também pode ser verificado. De fato, se você considerar -35 e -36, poderá ver que -35 = -36 + 1.

Portanto, se qualquer inteiro "n" for escolhido, então o inteiro consecutivo para "n" é "n + 1". Assim, uma relação entre dois inteiros consecutivos já foi estabelecida.

Qual é a soma dos quadrados?

Dados dois inteiros consecutivos "n" e "n + 1", então seus quadrados são "n²" e "(n + 1) ²". Usando as propriedades de produtos notáveis, este último termo pode ser escrito da seguinte forma:

(n + 1) ² = n² + 2 * n * 1 + 1² = n² + 2n + 1.

Finalmente, a soma dos quadrados dos dois números consecutivos é dada pela expressão:

n² + n² + 2n + 1 = 2n² + 2n +1 = 2n (n + 1) +1.

Se a fórmula anterior é detalhada, pode-se ver que é suficiente conhecer o menor inteiro "n" para saber qual a soma dos quadrados, isto é, basta usar o menor dos dois inteiros.

Outra perspectiva da fórmula obtida é: os números escolhidos são multiplicados, então o resultado obtido é multiplicado por 2 e finalmente, 1 é adicionado.

Por outro lado, o primeiro summand à direita é um número par e, quando você adiciona 1, o resultado será ímpar. Isso diz que o resultado da adição dos quadrados de dois números consecutivos sempre será um número ímpar.

Também pode ser observado que, como dois números quadrados estão sendo adicionados, esse resultado será sempre positivo.

Exemplos

1.- Considere os inteiros 1 e 2. O menor inteiro é 1. Usando a fórmula acima, concluímos que a soma dos quadrados é: 2 * (1) * (1 + 1) +1 = 2 * 2 + 1 = 4+ 1 = 5. O que concorda com as contas feitas no começo.

2.- Se os inteiros 5 e 6 forem tomados, então a soma dos quadrados será 2 * 5 * 6 + 1 = 60 + 1 = 61, o que também coincide com o resultado obtido no início.

3.- Se os números inteiros -10 e -9 forem escolhidos, então a soma de seus quadrados é: 2 * (- 10) * (- 9) + 1 = 180 + 1 = 181.

4.- Deixe os inteiros nesta oportunidade -1 e 0, então a soma de seus quadrados é dada por 2 * (- 1) * (0) + 1 = 0 +1 = 1.

Referências

1. Bouzas, P. G. (2004). Álgebra no secundário: trabalho cooperativo em matemática. Edições de Narcea.
2. Cabello, R. N. (2007). Poderes e Raízes Publicatusbooks.
3. Cabrera, V. M. (1997). Cálculo 4000. Editorial de progresso.
4. Guevara, M. H. (s.f.). O conjunto dos números inteiros. EUNED.
5. Oteyza, E. d. (2003). Albegra Educação Pearson.
6. Smith, S. A. (2000). Álgebra Educação Pearson.
7. Thomson (2006). Passando o GED: Matemática. Publicação InterLingua.