Quantas soluções tem uma equação quadrática?

Uma equação quadrática ou equação de segundo grau, pode ter zero, uma ou duas soluções reais, dependendo dos coeficientes que aparecem na dita equação.

Se você trabalha com números complexos, então pode dizer que cada equação quadrática tem duas soluções.

Para iniciar uma equação quadrática é uma equação da forma ax² + bx + c = 0, onde a, b e c são números reais e x é uma variável.

Diz-se que x1 é uma solução da equação quadrática anterior se a substituição de x por x1 satisfaz a equação, isto é, se a (x1) ² + b (x1) + c = 0.

Se tivermos, por exemplo, a equação x²-4x + 4 = 0, então x1 = 2 é a solução, pois (2) ²-4 (2) + 4 = 4-8 + 4 = 0.

Pelo contrário, se x2 = 0 é substituído, obtemos (0) ²-4 (0) + 4 = 4 e como 4 ≠ 0 então x2 = 0 não é uma solução da equação quadrática.

Soluções de uma equação quadrática

O número de soluções de uma equação quadrática pode ser separado em dois casos que são:

1.- Nos números reais

Ao trabalhar com números reais, as equações quadráticas podem ter:

Cinco soluções: isto é, não há nenhum número real que satisfaça a equação quadrática. Por exemplo, a equação dada pela equação x² + 1 = 0, não existe um número real tal que satisfaça esta equação, pois tanto x² é maior ou igual a zero e 1 é maior estrito que zero, então sua soma será maior estrito que zero.

-Uma solução repetida: Existe um único valor real que satisfaz a equação quadrática. Por exemplo, a única solução para a equação x²-4x + 4 = 0 é x1 = 2.

-Duas soluções diferentes: Existem dois valores que satisfazem a equação quadrática. Por exemplo, x² + x-2 = 0 tem duas soluções diferentes que são x1 = 1 e x2 = -2.

2.- Nos números complexos

Ao trabalhar com números complexos, as equações quadráticas sempre têm duas soluções, z1 e z2, onde z2 é o conjugado de z1. Além disso, eles podem ser classificados em:

-Complexos: as soluções são da forma z = p ± qi, onde p e q são números reais. Este caso corresponde ao primeiro caso da lista anterior.

Complexos completos: é quando a parte real da solução é igual a zero, ou seja, a solução tem a forma z = ± qi, onde q é um número real. Este caso corresponde ao primeiro caso da lista anterior.

-Complexes com parte imaginária igual a zero: é quando a parte complexa da solução é igual a zero, isto é, a solução é um número real. Este caso corresponde aos dois últimos casos da lista anterior.

Como as soluções de uma equação quadrática são calculadas?

Para calcular as soluções de uma equação quadrática, usa-se uma fórmula conhecida como "o resolvedor", que diz que as soluções de uma equação ax² + bx + c = 0 são dadas pela expressão da seguinte imagem:

A quantidade que aparece dentro da raiz quadrada é chamada de discriminante da equação quadrática e é denotada pela letra "d".

A equação quadrática terá:

-Duas soluções reais se, e somente se, d> 0.

-Uma solução real repetida se, e somente se, d = 0.

- Cinco soluções reais (ou duas soluções complexas) se, e somente se, d <0.

Exemplos:

As soluções da equação x² + x-2 = 0 são dadas por:

-A equação x²-4x + 4 = 0 tem uma solução repetida que é dada por:

-As soluções da equação x² + 1 = 0 são dadas por:

Como pode ser visto neste último exemplo, x2 é o conjugado de x1.

Referências

1. Fontes, A. (2016). MATEMÁTICA BÁSICA. Uma introdução ao cálculo Lulu.com
2. Garo, M. (2014). Matemática: equações quadráticas: Como resolver uma equação quadrática. Marilù Garo.
3. Haeussler, E.F., & Paul, R. S. (2003). Matemática para administração e economia. Educação Pearson.
4. Jiménez, J., Rofríguez, M., & Estrada, R. (2005). Matemática 1 SET. Limiar
5. Preciado, C. T. (2005). Curso de Matemática 3º. Editorial de progresso.
6. Rock, N. M. (2006). Álgebra eu é fácil! Tão fácil Team Rock Press.
7. Sullivan, J. (2006). Álgebra e trigonometria Educação Pearson.