Derivados algébricos (com exemplos)

O derivados algébricos eles consistem no estudo da derivada no caso particular das funções algébricas. A origem da noção de derivado remonta à Grécia Antiga. O desenvolvimento dessa noção foi motivado pela necessidade de resolver dois problemas importantes, um na física e outro na matemática.

Na física, a derivada resolve o problema de determinar a velocidade instantânea de um objeto em movimento. Na matemática, você pode encontrar a linha tangente para uma curva em um determinado ponto.

Embora realmente existam muitos mais problemas que são resolvidos usando a derivada, bem como suas generalizações, resultados que vieram depois à introdução de seu conceito.

Os pioneiros do cálculo diferencial são Newton e Leibniz. Antes de dar a definição formal, vamos desenvolver a ideia por trás dela, do ponto de vista matemático e físico.

Índice

• 1 A derivada como inclinação da linha tangente para uma curva
• 2 A derivada como velocidade instantânea de um objeto em movimento
  • 2.1 Função Algébrica
• 3 Regras de Derivação
  • 3.1 Derivado de uma constante
  • 3.2 Derivada de um poder
  • 3.3 Derivado da adição e subtração
  • 3.4 Derivada de um produto
  • 3.5 Derivado de um quociente
  • 3.6 Regra da cadeia
• 4 referências

A derivada como inclinação da linha tangente para uma curva

Suponha que o grafo de uma função y = f (x) seja um grafo contínuo (sem picos ou vértices ou separações), e seja A = (a, f (a)) um ponto fixo sobre ele. Queremos encontrar a equação da linha tangente ao gráfico da função f no ponto A.

Pegue outro ponto P = (x, f (x)) do gráfico, próximo ao ponto A, e desenhe a linha secante que passa por A e P. Uma linha secante é uma linha que corta o gráfico de uma curva em um ou mais pontos.

Para obter a linha tangente que queremos, só precisamos calcular a inclinação, pois já temos um ponto na linha: ponto A.

Se movermos o ponto P ao longo do gráfico e aproximá-lo cada vez mais do ponto A, a linha secante acima mencionada se aproximará da linha tangente que queremos encontrar. Tomando o limite quando "P tende para A", ambas as linhas coincidirão, portanto, suas inclinações também.

A inclinação da linha secante é dada por

Dizer que P se aproxima de A equivale a dizer que "x" se aproxima de "a". Assim, a inclinação da linha tangente para o gráfico de f no ponto A será igual a:

A expressão acima é denotada por f '(a) e é definida como a derivada de uma função f no ponto "a". Vemos então que, analiticamente, a derivada de uma função em um ponto é um limite, mas geometricamente, é a inclinação da linha tangente ao gráfico da função no ponto.

Agora vamos ver essa noção do ponto de vista da física. Chegaremos à mesma expressão do limite anterior, ainda que de maneira diferente, obtendo a unanimidade da definição.

A derivada como velocidade instantânea de um objeto em movimento

Vamos ver um breve exemplo do que significa velocidade instantânea. Quando se diz, por exemplo, que um carro chega a um destino a uma velocidade de 100 km por hora, o que significa que em uma hora viajou 100 km.

Isso não significa necessariamente que durante toda a hora o carro estava sempre a 100 km de distância, o velocímetro do carro poderia em alguns momentos marcar menos ou mais. Se ele tivesse a necessidade de parar em um semáforo, a velocidade naquele momento seria de 0 km. No entanto, após uma hora, o percurso foi de 100 km.

Isso é conhecido como velocidade média e é dado pelo quociente da distância percorrida entre o tempo decorrido, como acabamos de ver. A velocidade instantânea, por outro lado, é a que marca a agulha do velocímetro de um carro em um determinado momento (tempo).

Vamos ver isso agora de maneira mais geral. Suponha que um objeto se mova ao longo de uma linha e que esse deslocamento seja representado por meio da equação s = f (t), onde a variável t mede o tempo e a variável s o deslocamento, levando em consideração seu início em o instante t = 0, momento em que também é zero, isto é, f (0) = 0.

Esta função f (t) é conhecida como uma função de posição.

Uma expressão é procurada para a velocidade instantânea do objeto em um instante fixo "a". A essa velocidade, denotaremos por V (a).

Deixa de ser qualquer instante perto do instante "a". No intervalo de tempo entre "a" e "t", a mudança de posição do objeto é dada por f (t) -f (a).

A velocidade média neste intervalo de tempo é:

Que é uma aproximação da velocidade instantânea V (a). Esta aproximação será melhor à medida que se aproxima de "a". Portanto,

Observe que essa expressão é igual àquela obtida no caso anterior, mas de uma perspectiva diferente. Isto é o que é conhecido como a derivada de uma função f em um ponto "a" e denotada por f '(a), como dito acima.

Note que fazendo a mudança h = x-a, temos que quando "x" tende a "a", "h" tende a 0, e o limite anterior é transformado (de maneira equivalente) para:

Ambas as expressões são equivalentes, mas às vezes é melhor usar uma em vez da outra, dependendo do caso.

A derivada de uma função f é então definida mais geralmente em qualquer ponto "x" pertencente ao seu domínio como

A notação mais usual para representar a derivada de uma função y = f (x) é a que acabamos de ver (f 'o e'). No entanto, outra notação amplamente usada é a notação de Leibniz que é representada como qualquer uma das seguintes expressões:

Como a derivada é essencialmente um limite, ela pode ou não existir, porque os limites nem sempre existem. Se existe, diz-se que a função em questão é diferenciável no ponto dado.

Função algébrica

Uma função algébrica é uma combinação de polinômios por meio de somas, subtrações, produtos, quocientes, potências e radicais.

Um polinômio é uma expressão da forma

P_n= a_nxⁿ+ a_n-1x^n-1+ a_n-2x^n-2+ ... + a₂x²+ a₁x + a₀

Onde n é um número natural e todo o_eu, com i = 0,1, ..., n, são números racionais e um_n≠ 0 Neste caso, diz-se que o grau deste polinómio é n.

A seguir, exemplos de funções algébricas:

Aqui, funções exponenciais, logarítmicas e trigonométricas não são incluídas. As regras de derivação que veremos a seguir são válidas para funções em geral, mas vamos nos restringir e aplicá-las no caso de funções algébricas.

Regras de Derivação

Derivado de uma constante

Estabelece que a derivada de uma constante é zero. Isto é, se f (x) = c, então f '(x) = 0. Por exemplo, a derivada da função constante 2 é igual a 0.

Derivado de um poder

Se f (x) = xⁿentão f '(x) = nx^n-1. Por exemplo, a derivada de x³ São 3x². Como consequência disto, obtemos que a derivada da função de identidade f (x) = x é f '(x) = 1x^1-1= x⁰=1.

Outro exemplo é o seguinte: be f (x) = 1 / x²então f (x) = x^-2 e f '(x) = - 2x^-2-1= -2x^-3.

Esta propriedade também é válida, porque as raízes são poderes racionais e você pode aplicar o acima também nesse caso. Por exemplo, a derivada de uma raiz quadrada é dada por

Derivado de uma soma e uma subtração

Se feg são funções diferenciáveis ​​em x, então a soma f + g também é diferente e é verdade que (f + g) '(x) = f' (x) + g '(x).

Analogamente temos que (f-g) '(x) = f' (x) -g '(x). Em outras palavras, a derivada de uma soma (subtração) é a soma (ou subtração) das derivadas.

Exemplo

Se h (x) = x²+ x-1, então

h '(x) = (x²) + (x) '- (1)' = 2x + 1-0 = 2x + 1.

Derivado de um produto

Se feg são funções diferenciáveis ​​em x, então o produto fg também é diferenciável em x e é cumprido que

(fg) '(x) = f' (x) g (x) + f (x) g '(x).

A conseqüência é que se c é uma constante e f é uma função diferenciável em x, então cf também é diferenciável em x e (cf) '(x) = cf' (X).

Exemplo

Se f (x) = 3x (x²+1), então

f '(x) = (3x)' (x²+1) + (3x) (x²+1) '= 3 (x)' (x²+1) + 3x [(x²)'+(1)']

= 3 (1) (x²+1) + 3x [(2x^2-1) +0] = 3 (x²+1) + 3x (2x) = 3x²+ 3 + 6x²

= 9x²+3.

Derivado de um quociente

Se feg são diferenciáveis ​​em x e g (x) ≠ 0, então f / g também é diferenciável em x, e é verdade que

Exemplo: se h (x) = x³/ (x²-5x), então

h '(x) = [(x³) '(x⁵-5x) - (x³) (x⁵-5x) '] / (x⁵-5x)²= [(3x²) (x⁵-5x) - (x³) (5x⁴-5)] / (x⁵-5x)².

Regra da cadeia

Esta regra permite a derivação da composição de funções. Ele estabelece o seguinte: se y = f (u) é diferenciável em u, yu = g (x) é diferenciável em x, então a função composta f (g (x)) é diferenciável em x, e é satisfeito que [f () g (x))] '= f' (g (x)) g '(x).

Ou seja, a derivada de uma função composta é o produto da derivada da função externa (derivada externa) pela derivada da função interna (derivada interna).

Exemplo

Se f (x) = (x⁴-2x)³então

f '(x) = 3 (x⁴-2x)²(x⁴-2x) '= 3 (x⁴-2x)²(4x³-2).

Existem também resultados para calcular a derivada do inverso de uma função, bem como a generalização para derivadas de ordem superior. As aplicações são extensas. Entre eles, destacam suas utilidades em problemas de otimização e funções máximas e mínimas.

Referências

1. Alarcon, S., González, M., & Quintana, H. (2008). Cálculo diferencial. ITM.
2. Cabrera, V. M. (1997). Cálculo 4000. Editorial de progresso.
3. Castaño, H. F. (2005). Matemática antes do cálculo. Universidade de Medellín.
4. Eduardo, N. A. (2003). Introdução ao cálculo. Edições de limite.
5. Fontes, A. (2016). MATEMÁTICA BÁSICA. Uma introdução ao cálculo Lulu.com
6. Purcell, E.J., Rigdon, S.E. & Varberg, D.E. (2007). Cálculo Educação Pearson.
7. Saenz, J. (2005). Cálculo diferencial (Segunda ed.) Barquisimeto: Hypotenuse.
8. Thomas, G. B. e Weir, M. D. (2006). Cálculo: várias variáveis. Educação Pearson.