Derivativos Sucessivos (com Exercícios Resolvidos)

Oderivados sucessivos são os derivados de uma função após a segunda derivada. O processo para calcular as sucessivas derivadas é o seguinte: temos uma função f, da qual podemos derivar e assim obter a função derivativa f '. Para este derivado de f, podemos derivá-lo novamente, obtendo (f ')'.

Essa nova função é chamada segunda derivada; todas as derivadas calculadas a partir do segundo são sucessivas; Estes, também chamados de ordens superiores, têm grandes aplicações, como a informação sobre a plotagem do gráfico de uma função, o segundo teste derivado para extremos relativos e a determinação de séries infinitas.

Índice

• 1 definição
  • 1.1 Exemplo 1
  • 1.2 Exemplo 2
• 2 velocidade e aceleração
  • 2.1 Exemplo 1
  • 2.2 Exemplo 2
• 3 aplicações
  • 3.1 Derivação Mplificada
  • 3.2 Exemplo
  • 3.3 Fins Relativos
  • 3.4 Exemplo
  • 3,5 série de Taylor
  • 3.6 Exemplo
• 4 referências

Definição

Usando a notação de Leibniz, temos que a derivada de uma função "y" em relação a "x" é dy / dx. Para expressar a segunda derivada de "e" usando a notação de Leibniz, escrevemos da seguinte forma:

Em geral, podemos expressar as sucessivas derivadas da seguinte maneira com a notação de Leibniz, onde n representa a ordem da derivada.

Outras notações utilizadas são as seguintes:

Alguns exemplos onde podemos ver as diferentes notações são:

Exemplo 1

Obtenha todas as derivadas da função f definidas por:

Usando as técnicas usuais de derivação, temos que a derivada de f é:

Ao repetir o processo, podemos obter a segunda derivada, a terceira derivada e assim por diante.

Note que a quarta derivada é zero e a derivada de zero é zero, então temos que:

Exemplo 2

Calcule a quarta derivada da seguinte função:

Derivando a função dada temos como resultado:

Velocidade e aceleração

Uma das motivações que levaram à descoberta da derivada foi a busca pela definição da velocidade instantânea. A definição formal é a seguinte:

Seja y = f (t) uma função cujo gráfico descreve a trajetória de uma partícula em um momento t, então sua velocidade em um instante t é dada por:

Uma vez que a velocidade de uma partícula é obtida, podemos calcular a aceleração instantânea, que é definida da seguinte forma:

A aceleração instantânea de uma partícula cujo caminho é dado por y = f (t) é:

Exemplo 1

Uma partícula se move em uma linha de acordo com a função de posição:

Onde "y" é medido em metros e "t" em segundos.

- Em que momento é sua velocidade 0?

- Em que momento é sua aceleração 0?

Ao derivar a função de posição "e" temos que sua velocidade e aceleração são dadas respectivamente por:

Para responder a primeira questão, basta determinar quando a função v se torna zero; isto é:

Nós procedemos com a seguinte questão analogamente:

Exemplo 2

Uma partícula se move em uma linha de acordo com a seguinte equação de movimento:

Determine "t, y" e "v" quando a = 0.

Sabendo que velocidade e aceleração são dadas por

Nós procedemos para derivar e obter:

Fazendo um = 0, temos:

A partir do qual podemos deduzir que o valor de t para a ser igual a zero é de t = 1.

Então, avaliando a função de posição e a função de velocidade em t = 1, temos que:

Aplicações

Derivação Mplificada

Derivadas sucessivas também podem ser obtidas por derivação implícita.

Exemplo

Dada a seguinte elipse, encontre "e":

Derivando implicitamente em relação a x, temos:

Então, revertendo implicitamente em relação a x, isso nos dá:

Finalmente, nós temos:

Fins relativos

Outro uso que podemos dar a derivativos de segunda ordem é o cálculo de fins relativos de uma função.

O critério da primeira derivada para os extremos locais nos diz que, se temos uma função f contínua em um intervalo (a, b) e existe um c que pertence àquele intervalo tal que f'é anulado em c (isto é, que c é um ponto crítico), um desses três casos pode ocorrer:

- Se f '(x)> 0 para qualquer x pertencente a (a, c) e f' (x) <0 para x pertencente a (c, b), então f (c) é um máximo local.

- Se f '(x) <0 para qualquer x pertencente a (a, c) e f' (x)> 0 para x pertencente a (c, b), então f (c) é um mínimo local.

- Se f '(x) tem o mesmo sinal em (a, c) e em (c, b), isso implica que f (c) não é um ponto final local.

Utilizando o critério da segunda derivada, podemos saber se um número crítico de uma função é um máximo ou um mínimo local, sem ter que ver qual é o sinal da função nos intervalos acima mencionados.

O segundo critério derivativo nos diz que se f '(c) = 0 e que f "(x) é contínuo em (a, b), acontece que se f" (c)> 0 então f (c) é um mínimo local e se f "(c) <0 então f (c) é um máximo local.

Se f "(c) = 0, não podemos concluir nada.

Exemplo

Dada a função f (x) = x⁴ + (4/3) x³ - 4x², encontre os máximos e mínimos relativos de f aplicando o critério da segunda derivada.

Primeiro calculamos f '(x) e f "(x) e temos:

f '(x) = 4x³ + 4x² - 8x

f "(x) = 12x² + 8x - 8

Agora, f '(x) = 0 se, e somente se 4x (x + 2) (x - 1) = 0, e isso acontece quando x = 0, x = 1 ou x = - 2.

Para determinar se os números críticos obtidos são extremos relativos, basta avaliar em f "e assim observar seu sinal.

f "(0) = - 8, então f (0) é um máximo local.

f "(1) = 12, então f (1) é um mínimo local.

f "(- 2) = 24, então f (- 2) é um mínimo local.

Série de Taylor

Seja f uma função definida da seguinte forma:

Esta função tem um raio de convergência R> 0 e tem derivadas de todas as ordens em (-R, R). Os sucessivos derivados de f nos dão:

Tomando x = 0, podemos obter os valores de c_n com base nos seus derivados, da seguinte forma:

Se tomarmos n = 0 como a função f (isto é, f ^ 0 = f), então podemos reescrever a função da seguinte forma:

Agora considere a função como uma série de poderes em x = a:

Se fizermos uma análise análoga à anterior, teríamos que escrever a função f como:

Estas séries são conhecidas como a série de Taylor de f em a. Quando a = 0, temos o caso particular que é chamado de série Maclaurin. Este tipo de série é de grande importância matemática, especialmente na análise numérica, porque graças a estes podemos definir funções em computadores como^x , sin (x) e cos (x).

Exemplo

Obtenha a série Maclaurin para e^x.

Note que se f (x) = e^xentão fⁿ⁾(x) = e^x e fⁿ⁾(0) = 1, e é por isso que sua série Maclaurin é:

Referências

1. Frank Ayres, J. e Mendelson, E. (s.f.). Cálculo 5ed Mc Graw Hill.
2. Leithold, L. (1992). O CÁLCULO COM GEOMETRIA ANALÍTICA. HARLA, S.A.
3. Purcell, E.J., Varberg, D., & Rigdon, S.E. (2007). Cálculo México: Educação Pearson.
4. Saenz, J. (2005). Cálculo diferencial. Hipotenusa.
5. Saenz, J. (s.f.). Cálculo integral. Hipotenusa.