Aplicações de decomposição aditiva, partições, gráficos



O decomposição aditiva de um número inteiro positivo é expressá-lo como uma soma de dois ou mais inteiros positivos. Assim, temos que o número 5 pode ser expresso como 5 = 1 + 4, 5 = 2 + 3 ou 5 = 1 + 2 + 2. Cada uma dessas formas de escrever o número 5 é o que chamamos de decomposição aditiva.

Se prestarmos atenção, podemos ver que as expressões 5 = 2 + 3 e 5 = 3 + 2 representam a mesma composição; ambos têm os mesmos números. No entanto, apenas por conveniência, cada um dos adendos é geralmente escrito seguindo o critério do menor para o maior.

Índice

  • 1 Decomposição aditiva
  • 2 decomposição aditiva canônica
  • 3 aplicações
    • 3.1 Exemplo de teorema
  • 4 partições
    • 4.1 Definição
  • 5 gráficos
  • 6 referências

Decomposição aditiva

Como outro exemplo, podemos pegar o número 27, que podemos expressar como:

27=  7+10+10

27=  9+9+9

27=   3+6+9+9

27= 9+18

A decomposição aditiva é uma ferramenta muito útil que nos permite reforçar o nosso conhecimento sobre os sistemas de numeração.

Decomposição canônica aditiva

Quando temos números de mais de dois números, um modo particular de decompor os números é nos múltiplos de 10, 100, 1000, 10 000, etc., que o compõem. Essa maneira de escrever qualquer número é chamada de decomposição aditiva canônica. Por exemplo, o número 1456 pode ser dividido da seguinte forma:

1456 = 1000 + 400+ 50 + 6

Se tivermos o número 20 846 295, sua decomposição canônica será:

20 846 295= 20 000 000 + 800 000 + 40 000 + 6000 + 200 + 90 +5.

Graças a essa decomposição, podemos ver que o valor de um dado dígito é dado pela posição que ocupa. Pegue os números 24 e 42 como exemplo:

24= 20 + 4

42= 40 +2

Aqui podemos observar que em 24 o 2 tem um valor de 20 unidades e o 4 um valor de 4 unidades; em vez disso, em 42, o 4 tem um valor de 40 unidades e o 2 de duas unidades. Assim, embora ambos os números usem os mesmos dígitos, seus valores são totalmente diferentes pela posição que ocupam.

Aplicações

Uma das aplicações que podemos dar à decomposição aditiva é em certos tipos de demonstrações, nas quais é muito útil ver um número inteiro positivo como a soma de outros.

Exemplo teorema

Tomemos como exemplo o seguinte teorema com suas respectivas demonstrações.

- Seja Z um inteiro de 4 dígitos, então Z é divisível por 5 se o número correspondente às unidades for zero ou cinco.

Demonstração

Lembre-se do que é divisibilidade. Se temos "a" e "b" inteiros, dizemos que "a" divide "b" se houver um inteiro "c" tal que b = a * c.

Uma das propriedades da divisibilidade nos diz que se "a" e "b" são divisíveis por "c", então a subtração "a-b" também é divisível por "c".

Seja Z um inteiro de 4 dígitos; portanto, podemos escrever Z como Z = ABCD.

Usando a decomposição aditiva canônica, temos que:

Z = A * 1000 + B * 100 + C * 10 + D

É claro que A * 1000 + B * 100 + C * 10 é divisível por 5. Por isso, temos que Z é divisível por 5 se Z - (A * 1000 + B * 100 + C * 10) é divisível por 5.

Mas Z - (A * 1000 + B * 100 + C * 10) = D e D é um número de uma única figura, então a única maneira que é divisível por 5 é que é 0 ou 5.

Portanto, Z é divisível por 5 se D = 0 ou D = 5.

Note que se Z tem n dígitos a prova é exatamente a mesma, só muda que agora escreveríamos Z = A1Um2... An e o objetivo seria provar que An É zero ou cinco.

Partições

Dizemos que uma partição de um inteiro positivo é uma maneira em que podemos escrever um número como a soma de inteiros positivos.

A diferença entre uma decomposição aditiva e uma partição é que, enquanto no primeiro é procurado que pelo menos possa ser decomposto em dois ou mais adendos, na partição não existe tal restrição.

Então, nós temos o seguinte:

5=5

5= 1+4

5= 2+3

5= 1+2+2

As acima são partições de 5.

Ou seja, temos que toda decomposição aditiva é uma partição, mas nem toda partição é necessariamente uma decomposição aditiva.

Na teoria dos números, o teorema fundamental da aritmética garante que todo número inteiro possa ser escrito unicamente como um produto de primos.

Ao estudar partições, o objetivo é determinar quantas maneiras você pode escrever um inteiro positivo como a soma de outros inteiros. Portanto, definimos a função de partição como apresentada abaixo.

Definição

A função de partição p (n) é definida como o número de maneiras em que um inteiro positivo n pode ser escrito como uma soma de inteiros positivos.

Voltando ao exemplo de 5, temos que:

5=5

5= 1+4

5= 2+3

5= 1+1+3

5= 1+2+2

5= 1+1+1+2

5= 1+1+1+1+1

De tal maneira, p (5) = 7.

Gráficos

Ambas as partições e as decomposições aditivas de um número n podem ser representadas geometricamente. Suponha que tenhamos uma decomposição aditiva de n. Nesta decomposição, os addends podem ser organizados de modo que os membros da soma sejam ordenados do menor para o maior. Então vale a pena:

n = a1 + a2 + a3 + ... + ar com

um1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ ... ≤ ar.

Podemos traçar essa decomposição da seguinte maneira: na primeira linha marcamos o1-pontos, então no próximo marcamos2pontos, e assim por diante até chegar ar.

Tome o número 23 e sua decomposição a seguir como um exemplo:

23= 5 + 4 + 7 + 3 + 1 +3

Nós pedimos esta decomposição e nós temos:

23= 1 + 3 + 3 + 4+ 5 + 7

Seu gráfico correspondente seria:

Da mesma forma, se lermos o referido gráfico verticalmente em vez de horizontalmente, podemos obter uma decomposição que pode ser diferente da anterior. No exemplo de 23, destaca o seguinte:

Então nós temos que 23 também podemos escrevê-lo como:

23 = 6 + 5 + 5 + 3 + 2 + 1 + 1.

Referências

  1. G.H. Hardy e E. M. Wright. Uma introdução à teoria dos números. Oxford Clarendon Press.
  2. Navarro C. Enciclopédia Didática 6. Editorial Santillana, S.A.
  3. Navarro C.Link com Matemática 6. Editorial Santillana, S.A.
  4. Niven e Zuckerman. Introdução à teoria dos números. Cal.
  5. Avaliação de VV.AA Critério da área matemática: um modelo para o ensino primário. Wolters Kluwer Educação.
  6. Enciclopédia Didática 6.