Decomposição de números naturais (com exemplos e exercícios)

O decomposição de números naturais pode ocorrer de diferentes maneiras: como um produto de fatores primos, como uma soma de potências de dois e decomposição aditiva. Eles serão explicados em detalhes abaixo.

Uma propriedade útil que tem o poder de dois é que com eles você pode converter um número de sistema decimal em um número de sistema binário. Por exemplo, 7 (número no sistema decimal) é equivalente ao número 111, já que 7 = (2 ^ 2) + (2 ^ 1) + (2 ^ 0).

Números naturais são os números com os quais você pode contar e listar objetos. Na maioria dos casos, os números naturais são considerados a partir de 1. Esses números são ensinados na escola e são úteis em quase todas as atividades da vida diária.

Índice

• 1 maneiras de decompor números naturais
  • 1.1 Decomposição como produto de fatores primos
  • 1.2 Decomposição como soma de poderes de 2
  • 1.3 Decomposição aditiva
• 2 Exercícios e soluções
  • 2.1 Decomposição em produto de números primos
  • 2.2 Decomposição em soma de potências de 2
  • 2.3 Decomposição aditiva
• 3 referências

Formas de decompor números naturais

Como mencionado anteriormente, aqui estão três maneiras diferentes de decompor os números naturais.

Decomposição como produto de fatores primos

Todo número natural pode ser expresso como um produto de números primos. Se o número já é primo, sua própria decomposição é multiplicada por um.

Se não, é dividido no menor número primo pelo qual é divisível (pode ser uma ou várias vezes), até que um número primo seja obtido.

Por exemplo:

5 = 5*1.

15 = 3*5.

28 = 2*2*7.

624 = 2*312 = 2*2*156 = 2*2*2*78 = 2*2*2*2*39 = 2*2*2*2*3*13.

175 = 5*35 = 5*5*7.

Decomposição como soma de poderes de 2

Outra propriedade interessante é que qualquer número natural pode ser expresso como uma soma de potências de 2. Por exemplo:

1 = 2^0.

2 = 2^1.

3 = 2^1 + 2^0.

4 = 2^2.

5 = 2^2 + 2^0.

6 = 2^2 + 2^1.

7 = 2^2 + 2^1 + 2^0.

8 = 2^3.

15 = 2^3 + 2^2 + 2^1 + 2^0.

Decomposição aditiva

Outra maneira de decompor números naturais é considerando o sistema de numeração decimal e o valor posicional de cada número.

Isto é obtido considerando as figuras da direita para a esquerda e começando com unidade, década, centena, unidade de mil, dezenas de milhares, centenas de milhares, unidades de milhões, etc. Esta unidade é multiplicada pelo sistema de numeração correspondente.

Por exemplo:

239 = 2*100 + 3*10 + 9*1 = 200 + 30 + 9.

4893 = 4*1000 + 8*100 + 9*10 + 3*1.

Exercícios e soluções

Considere o número 865236. Encontre sua decomposição no produto de números primos, em soma de potências de 2 e sua decomposição aditiva.

Decomposição em produto de números primos

-As 865236 é par, certifique-se que o menor primo para o qual é divisível é 2.

-Dividindo entre 2 você obtém: 865236 = 2 * 432618. Novamente, um número par é obtido.

-Ele continua dividindo até que um número ímpar seja obtido. Então: 865236 = 2 * 432618 = 2 * 2 * 216309.

-O último número é ímpar, mas é divisível por 3, pois a soma de seus dígitos é ímpar.

-So, 865236 = 2 * 432618 = 2 * 2 * 216309 = 2 * 2 * 3 * 72103. O número 72103 é primo.

Portanto, a decomposição desejada é a última.

Decomposição em soma de poderes de 2

-A maior potência de 2 é procurada que é mais próxima de 865236.

-Este é 2 ^ 19 = 524288. Agora, a mesma coisa é repetida para a diferença 865236 - 524288 = 340948.

O poder mais próximo neste caso é 2 ^ 18 = 262144. Agora é seguido por 340948-262144 = 78804.

Neste caso, a potência mais próxima é 2 ^ 16 = 65536. Continue 78804 - 65536 = 13268 e você verá que a potência mais próxima é 2 ^ 13 = 8192.

-Agora com 13268 - 8192 = 5076 e você obtém 2 ^ 12 = 4096.

-Então com 5076 - 4096 = 980 e temos 2 ^ 9 = 512. Continuamos com 980 - 512 = 468, e a potência mais próxima é 2 ^ 8 = 256.

- Agora vem 468 - 256 = 212 com 2 ^ 7 = 128.

-Então, 212 - 128 = 84 com 2 ^ 6 = 64.

Agora 84 - 64 = 20 com 2 ^ 4 = 16.

E finalmente 20 - 16 = 4 com 2 ^ 2 = 4.

Finalmente você tem que:

865236 = 2^19 + 2^18 + 2^16 + 2^13 + 2^12 + 2^9 + 2^8 + 2^7 + 2^6 + 2^4 + 2^2.

Decomposição aditiva

Identificando as unidades temos que a unidade corresponde ao número 6, a dez a 3, a cem a 2, a unidade de mil a 5, a dez mil a 6 e a cem mil a 8.

Então,

865236 = 8*100.000 + 6*10.000 + 5*1.000 + 2*100 + 3*10 + 6

            = 800.000 + 60.000 + 5.000 + 200 + 30 + 6.

Referências

1. Barker, L. (2011). Textos Nivelados para Matemática: Número e Operações. Materiais Criados por Professores.
2. Burton, M., French, C., & Jones, T. (2011). Nós usamos números. Empresa de Educação de Referência.
3. Doudna, K. (2010). Ninguém dorme quando usamos números! ABDO Publishing Company.
4. Fernández, J. M. (1996). Projeto Abordagem Química. Reverte
5. Hernández, J. d. (s.f.) Caderno de matemática. Limiar
6. Lahora, M. C. (1992). Atividades matemáticas com crianças de 0 a 6 anos. Edições de Narcea.
7. Marín, E. (1991). Gramática espanhola Editorial de progresso.
8. Tocci, R.J. & Widmer, N. S. (2003). Sistemas digitais: princípios e aplicações. Educação Pearson.