Equações Polinomiais (com Exercícios Resolvidos)

O equações polinomiais é uma afirmação que aumenta a igualdade de duas expressões ou membros, onde pelo menos um dos termos que compõem cada lado da igualdade são polinômios P ​​(x). Essas equações são nomeadas de acordo com o grau de suas variáveis.

Em geral, uma equação é uma afirmação que estabelece a igualdade de duas expressões, onde em pelo menos uma delas há quantidades desconhecidas, que são chamadas de variáveis ​​ou incógnitas. Embora existam muitos tipos de equações, eles são geralmente classificados em dois tipos: algébricos e transcendentais.

As equações polinomiais contêm apenas expressões algébricas, que podem ter uma ou mais incógnitas envolvidas na equação. De acordo com o expoente (grau) que estão a ter podem ser classificados em primeiro grau (linear), segundo-grau (quadrática), terceiro grau (cúbica), quarto grau (quártico) superior ou igual a cinco e grau irracional.

Índice

• 1 caraterísticas
• 2 tipos
  • 2.1 Primeiro grau
  • 2,2 segundo grau
  • 2.3 Resolvente
  • 2.4 grau superior
• 3 exercícios resolvidos
  • 3.1 Primeiro exercício
  • 3.2 Segundo exercício
• 4 referências

Características

Equações polinomiais são expressões que são formadas por uma igualdade entre dois polinômios; ou seja, por somas finitas de multiplicações entre os valores são desconhecidos (variáveis) e fixos números (coeficientes), em que as variáveis ​​podem ter expoentes, e o seu valor pode ser um número inteiro positivo, incluindo zero.

Os expoentes determinam o grau ou tipo de equação. Esse termo da expressão que possui o maior expoente de valor representará o grau absoluto do polinômio.

As equações polinomiais também são conhecidas como algébricas, seus coeficientes podem ser números reais ou complexos e variáveis ​​são números desconhecidos representados por uma letra, como "x".

Se a substituição de um valor para a variável "X" em P (x) o resultado é zero (0), então diz-se que este valor satisfaz a equação (que é uma solução), e é normalmente chamado de raiz do polinomial.

Quando uma equação polinomial é desenvolvida, queremos encontrar todas as raízes ou soluções.

Tipos

Existem vários tipos de equações polinomiais, que são diferenciadas de acordo com o número de variáveis ​​e também de acordo com o seu grau de expoente.

Assim, as equações polinomiais, onde o primeiro termo é uma polinomial que tem um desconhecido, ao passo que o seu grau podem ser qualquer número natural (n) e o segundo termo é zero, pode ser expressa da seguinte forma:

um_{n *} xⁿ + a_{n-1 *} x^n-1 + ... + a_{1 *} x¹ + a_{0 *} x₀ = 0

Onde:

- um_n um_n-1 e um₀são coeficientes reais (números).

- um_n É diferente de zero.

- O expoente n é um inteiro positivo que representa o grau da equação.

- x é a variável ou desconhecido que deve ser pesquisada.

O grau absoluto ou maior de uma equação polinomial é aquele expoente de maior valor entre todos aqueles que formam o polinômio; Dessa forma, as equações são classificadas como:

Primeiro grau

equações de polinómios de primeiro grau, também conhecidos como equações lineares, são aqueles em que o grau (maior do expoente) é igual a 1, o polinómio é o (x) = 0 forma P; e é composto de um termo linear e um termo independente. Está escrito da seguinte forma:

ax + b = 0.

Onde:

- aeb são números reais e ≠ 0.

- ax é o termo linear.

- b é o termo independente.

Por exemplo, a equação 13x - 18 = 4x.

Para resolver equações lineares, todos os termos que contêm o x desconhecido devem ser passados ​​para um lado da igualdade, e aqueles que não possuem são movidos para o outro lado, para limpá-lo e obter uma solução:

13x - 18 = 4x

13x = 4x + 18

13x - 4x = 18

9x = 18

x = 18 ÷ 9

x = 2

Dessa forma, a equação dada tem uma única solução ou raiz, que é x = 2.

Segundo grau

equação polinomial de segundo grau, também conhecidos como equações quadráticas, são aqueles em que o grau (maior do expoente) é igual a 2, o polinómio é o de (X) forma P = 0, e é composto de um termo quadrático , um linear e um independente. É expresso da seguinte forma:

machado² + bx + c = 0

Onde:

- a, b e c são números reais e um ≠ 0.

- machado² é o termo quadrático e "a" é o coeficiente do termo quadrático.

- bx é o termo linear e "b" é o coeficiente do termo linear.

- c é o termo independente.

Resolvedor

Geralmente, a solução para este tipo de equações é dada pela limpeza de x da equação, e é deixada da seguinte maneira, que é chamada de resolvedor:

Lá, (b² - 4ac) é chamado o discriminante da equação e esta expressão determina o número de soluções que a equação pode ter:

- Sim (b² - 4ac) = 0, a equação terá uma solução única que é dupla; isto é, você terá duas soluções iguais.

- Sim (b² - 4ac)> 0, a equação terá duas soluções reais diferentes.

- Sim (b² - 4ac) <0, a equação não tem solução (terá duas soluções complexas diferentes).

Por exemplo, você tem a equação 4x² + 10x - 6 = 0, para resolvê-lo, primeiro identifique os termos a, bec, substitua-o na fórmula:

a = 4

b = 10

c = -6.

Há casos em que as equações polinomiais do segundo grau não possuem os três termos, e é por isso que elas são resolvidas diferentemente:

- No caso de as equações quadráticas não terem o termo linear (ou seja, b = 0), a equação será expressa como ax² + c = 0. Para resolvê-lo, é limpo x² e as raízes quadradas são aplicadas em cada membro, lembrando que os dois sinais possíveis que o desconhecido pode ter devem ser considerados:

machado² + c = 0

x² = - c ÷ a

Por exemplo, 5 x² - 20 = 0.

5 x² = 20

x² = 20 ÷ 5

x = ± √4

x = ± 2

x₁ = 2.

x₂ = -2.

- Quando a equação quadrática não tem um termo independente (isto é, c = 0), a equação será expressa como ax² + bx = 0. Para resolvê-lo, devemos extrair o fator comum do desconhecido x no primeiro membro; como a equação é igual a zero, é verdade que pelo menos um dos fatores será igual a 0:

machado² + bx = 0

x (ax + b) = 0.

Dessa forma, você precisa:

x = 0

x = -b ÷ a.

Por exemplo: você tem a equação 5x² + 30x = 0. Primeiro fator:

5x² + 30x = 0

x (5x + 30) = 0.

Dois fatores são gerados que são xe (5x + 30). Considera-se que um destes será igual a zero e a outra solução será dada:

x₁ = 0.

5x + 30 = 0

5x = -30

x = -30 ÷ 5

x₂ = -6.

Maior grau

As equações polinomiais de maior grau são aquelas que vão do terceiro grau em diante, que podem ser expressas ou resolvidas com a equação polinomial geral para qualquer grau:

um_{n *} xⁿ + a_{n-1 *} x^n-1 + ... + a_{1 *} x¹ + a_{0 *} x₀ = 0

Isso é usado porque uma equação com um grau maior que dois é o resultado da fatoração de um polinômio; isto é, é expressa como a multiplicação de polinômios de grau um ou maior, mas sem raízes reais.

A solução deste tipo de equações é direta, porque a multiplicação de dois fatores será igual a zero se algum dos fatores for nulo (0); portanto, cada uma das equações polinomiais encontradas deve ser resolvida, igualando cada um dos seus fatores a zero.

Por exemplo, você tem a equação de terceiro grau (cúbico) x³ + x² + 4x + 4 = 0. Para resolvê-lo, os seguintes passos devem ser seguidos:

- Os termos estão agrupados:

x³ + x² + 4x + 4 = 0

(x³ + x² ) + (4x + 4) = 0.

- Os membros são divididos para obter o fator comum do desconhecido:

x² (x + 1) + 4 (x + 1) = 0

(x² + 4)_*(x + 1) = 0

- Desta forma, dois fatores são obtidos, que devem ser iguais a zero:

(x² + 4) = 0

(x + 1) = 0

- Pode ser visto que o fator (x² + 4) = 0 não terá uma solução real, enquanto o fator (x + 1) = 0 sim. Portanto, a solução é:

(x + 1) = 0

x = -1

Exercícios resolvidos

Resolva as seguintes equações:

Primeiro exercício

(2x² + 5)_*(x - 3)_*(1 + x) = 0

Solução

Neste caso, a equação é expressa como a multiplicação de polinômios; isto é, é fatorado. Para resolvê-lo, cada fator deve ser igual a zero:

- 2x² + 5 = 0, não tem solução.

- x - 3 = 0

- x = 3

- 1 + x = 0

- x = - 1.

Assim, a equação dada tem duas soluções: x = 3 ex = -1.

Segundo exercício

x⁴ - 36 = 0.

Solução

Foi dado um polinômio, que pode ser reescrito como uma diferença de quadrados para chegar a uma solução mais rápida. Assim, a equação permanece:

(x² + 6)_*(x² - 6) = 0.

Para encontrar a solução das equações, ambos os fatores são iguais a zero:

(x² + 6) = 0, não tem solução.

(x² - 6) = 0

x² = 6

x = ± 6.

Assim, a equação inicial tem duas soluções:

x = √6.

x = - √6.

Referências

1. Andres, T. (2010). Matemática Olimpíada Tresure. Springer Nova York
2. Angel, A. R. (2007). Álgebra Elementar Educação Pearson,.
3. Baer, ​​R. (2012). Álgebra Linear e Geometria Projetiva. Courier Corporation.
4. Baldor, A. (1941). Álgebra Havana: Cultura.
5. Castaño, H. F. (2005). Matemática antes do cálculo. Universidade de Medellín.
6. Cristóbal Sánchez, M. R. (2000). Manual de matemática para preparação olímpica. Universitat Jaume I.
7. Kreemly Pérez, M. L. (1984). Álgebra Superior I.
8. Massara, N. C.-L. (1995). Matemática 3.