Geometria analítica que estuda, história, aplicações

O geometria analítica Ele estuda as linhas e figuras geométricas aplicando técnicas básicas de álgebra e análise matemática em um sistema de coordenadas específico.

Consequentemente, a geometria analítica é um ramo da matemática que analisa detalhadamente todos os dados das figuras geométricas, ou seja, o volume, os ângulos, a área, os pontos de intersecção, suas distâncias, entre outros.

A característica fundamental da geometria analítica é que ela permite a representação de figuras geométricas através de fórmulas.

Por exemplo, os círculos são representados por equações polinomiais de segundo grau enquanto as linhas são expressas com equações polinomiais de primeiro grau.

A geometria analítica surgiu no século XVII pela necessidade de fornecer respostas a problemas que até agora não tinham solução. Ele teve como principais representantes René Descartes e Pierre de Fermat.

Actualmente, muitos autores apontam para ele como uma criação revolucionária na história da matemática, uma vez que representa o início da matemática moderna.

Índice

• 1 História da geometria analítica
  • 1.1 Principais representantes da geometria analítica
  • 1,2 Pierre de Fermat
  • 1.3 René Descartes
• 2 Elementos fundamentais da geometria analítica
  • 2.1 O sistema de coordenadas cartesianas
  • 2.2 Sistemas de coordenadas retangulares
  • 2.3 Sistema de coordenadas polares
  • 2.4 equação cartesiana da linha
  • 2.5 linha reta
  • 2,6 Conics
  • 2,7 Circunferência
  • 2,8 Parábola
  • 2.9 Elipse
  • 2,10 Hipérbole
• 3 aplicações
  • 3.1 Antena parabólica
  • 3.2 pontes suspensas
  • 3.3 Análise Astronômica
  • 3.4 Telescópio Cassegrain
• 4 referências

História da geometria analítica

O termo geometria analítica surge na França no século XVII pela necessidade de dar respostas a problemas que não poderiam ser resolvidos usando álgebra e geometria isoladamente, mas a solução estava no uso combinado de ambos.

Principais representantes da geometria analítica

Durante o século XVII, dois franceses, por acaso, realizaram investigações que, de um modo ou de outro, terminaram com a criação da geometria analítica. Essas pessoas eram Pierre de Fermat e René Descartes.

Atualmente, considera-se que o criador da geometria analítica foi René Descartes. Isso porque ele publicou seu livro antes de Fermat e também com a profundidade com o Descartes lida com o assunto da geometria analítica.

No entanto, tanto Fermat quanto Descartes descobriram que linhas e figuras geométricas poderiam ser expressas por equações e as equações poderiam ser expressas como linhas ou figuras geométricas.

De acordo com as descobertas feitas pelos dois, pode-se dizer que ambos são os criadores da geometria analítica.

Pierre de Fermat

Pierre de Fermat foi um matemático francês que nasceu em 1601 e morreu em 1665. Durante sua vida ele estudou a geometria de Euclides, Apollonius e Pappus, a fim de resolver os problemas de medição que existiam naquela época.

Posteriormente, esses estudos desencadearam a criação da geometria. Eles acabaram sendo expressos em seu livro "Introdução a lugares planos e sólidos"(Ad Locos Planes e Solidos Isagoge), que foi publicado 14 anos após sua morte em 1679.

Pierre de Fermat aplicou em 1623 a geometria analítica aos teoremas de Apolônio nos loci. Foi ele também quem aplicou a geometria analítica ao espaço de três dimensões pela primeira vez.

René Descartes

Também conhecido como Cartesius foi um matemático, físico e filósofo que nasceu em 31 de março de 1596 na França e morreu no ano de 1650.

René Descartes publicou em 1637 seu livro "Discurso sobre o método de conduzir corretamente a razão e buscar a verdade nas ciências"Mais conhecido como"O método"E daí o termo geometria analítica foi introduzido no mundo. Um de seus apêndices foi "Geometria".

Elementos fundamentais da geometria analítica

A geometria analítica é composta dos seguintes elementos:

O sistema de coordenadas cartesianas

Este sistema tem o nome de René Descartes.

Não foi ele quem o nomeou, nem quem completou o sistema de coordenadas cartesianas, mas foi ele quem falou de coordenadas com números positivos, permitindo que futuros estudiosos o completassem.

Este sistema é composto pelo sistema de coordenadas retangulares e pelo sistema de coordenadas polares.

Sistemas de coordenadas retangulares

É chamado sistema de coordenadas retangulares ao plano formado pela linha de duas linhas numéricas perpendiculares, onde o ponto de corte coincide com o zero comum.

Então este sistema seria formado por uma linha horizontal e uma vertical.

A linha horizontal é o eixo do X ou o eixo da abscissa. A linha vertical seria o eixo do Y ou o eixo das ordenadas.

Sistema de coordenadas polares

Este sistema é responsável por verificar a posição relativa de um ponto em relação a uma linha fixa e a um ponto fixo na linha.

Equação cartesiana da linha

Essa equação é obtida de uma linha quando dois pontos são conhecidos por onde ela passa.

Linha reta

É aquele que não se desvia e, portanto, não tem curvas ou ângulos.

Cônica

São as curvas definidas pelas linhas retas que passam por um ponto fixo e pelos pontos de uma curva.

A elipse, a circunferência, a parábola e a hipérbole são curvas cônicas. Cada um deles é descrito abaixo.

Circunferência

Chama-se circunferencia à curva plana fechada que é formada por todos os pontos do plano que equidista de um ponto interior, isto é, do centro da circunferencia.

Parábola

É o locus dos pontos do plano equidistante de um ponto fixo (foco) e uma linha fixa (diretriz). Então, a diretriz e o foco são os que definem a parábola.

A parábola pode ser obtida como uma seção de uma superfície cônica de revolução por um plano paralelo a uma geratriz.

Elipse

Elipse é a curva fechada que descreve um ponto quando se move em um plano, de modo que a soma de suas distâncias para dois (2) pontos fixos (chamados de focos) é constante.

Hipérbole

Hipérbole é a curva definida como o lócus dos pontos do plano, para o qual a diferença entre as distâncias de dois pontos fixos (focos) é constante.

A hipérbole tem um eixo de simetria que passa pelos focos, chamado de eixo focal. Também tem outro que é o mediatrix do segmento que fixou pontos por extremos.

Aplicações

Existem variadas aplicações da geometria analítica em diferentes áreas da vida cotidiana. Por exemplo, podemos encontrar a parábola, um dos elementos fundamentais da geometria analítica, em muitas das ferramentas que são usadas diariamente hoje. Algumas dessas ferramentas são as seguintes:

Antena parabólica

As antenas parabólicas possuem um refletor gerado como conseqüência de uma parábola que gira no eixo da dita antena. A superfície que é gerada como resultado dessa ação é chamada de parabolóide.

Essa capacidade do parabolóide é chamada de propriedade ótica ou propriedade de reflexão de uma parábola, e graças a isso é possível que o parabolóide reflita as ondas eletromagnéticas que recebe do mecanismo de alimentação que compõe a antena.

Pontes suspensas

Quando uma corda tem um peso que é homogêneo mas, ao mesmo tempo, é consideravelmente maior que o peso da corda em si, o resultado será uma parábola.

Este princípio é fundamental para a construção de pontes suspensas, que geralmente são suportadas por grandes estruturas de cabos de aço.

O princípio da parábola em pontes suspensas tem sido utilizado em estruturas como a Ponte Golden Gate, localizada na cidade de São Francisco, nos Estados Unidos, ou a Grande Ponte do Estreito de Akashi, localizada no Japão e que liga a ilha de Awaji com Honshu, ilha principal daquele país.

Análise astronômica

A geometria analítica também teve usos muito específicos e determinantes no campo da astronomia. Nesse caso, o elemento da geometria analítica que ocupa o centro do palco é a elipse; a lei do movimento dos planetas de Johannes Kepler é um reflexo disso.

Kepler, um matemático e astrônomo alemão, determinou que a elipse era a curva que melhor se adequava ao movimento de Marte; anteriormente ele havia tentado o modelo circular proposto por Copérnico, mas no meio de seus experimentos, ele deduziu que a elipse era usada para desenhar uma órbita perfeitamente semelhante ao planeta que ele estudou.

Graças à elipse, Kepler pôde afirmar que os planetas se moviam em órbitas elípticas; essa consideração foi a enunciação da chamada segunda lei do Kepler.

A partir dessa descoberta, posteriormente enriquecida pelo físico e matemático inglês Isaac Newton, foi possível estudar os movimentos orbitais dos planetas e aumentar o conhecimento que tínhamos sobre o universo do qual fazemos parte.

Telescópio Cassegrain

O telescópio Cassegrain é nomeado após o seu inventor, o físico francês Laurent Cassegrain. Neste telescópio, os princípios da geometria analítica são usados ​​porque são compostos principalmente por dois espelhos: o primeiro é côncavo e parabólico, e o segundo é caracterizado por ser convexo e hiperbólico.

A localização e a natureza desses espelhos permitem que o defeito conhecido como aberração esférica não ocorra; este defeito impede que os raios de luz sejam refletidos no foco de uma determinada lente.

O telescópio Cassegrain é muito útil para observação planetária, além de ser bastante versátil e fácil de manusear.

Referências

1. Geometria Analítica. Retirado em 20 de outubro de 2017, de britannica.com
2. Geometria Analítica. Obtido em 20 de outubro de 2017, encyclopediafmath.org
3. Geometria Analítica. Retirado em 20 de outubro de 2017, de khancademy.org
4. Geometria Analítica. Obtido em 20 de outubro de 2017, em wikipedia.org
5. Geometria Analítica. Obtido em 20 de outubro de 2017, de whitman.edu
6. Geometria Analítica.Retirado em 20 de outubro de 2017, de stewartcalculus.com
7. Geometria analítica de avião.Recebido em 20 de outubro de 2017