História da Geometria Euclidiana, Conceitos Básicos e Exemplos

O Geometria euclidiana corresponde ao estudo das propriedades dos espaços geométricos onde os axiomas de Euclides são satisfeitos. Embora esse termo às vezes seja usado para englobar geometrias que têm dimensões superiores com propriedades semelhantes, geralmente é sinônimo de geometria clássica ou geometria plana.

No terceiro século a. C. Euclides e seus discípulos escreveram o Elementos, trabalho que englobou o conhecimento matemático do tempo dotado de uma estrutura lógico-dedutiva. Desde então, a geometria tornou-se uma ciência, inicialmente para resolver problemas clássicos e evoluiu para uma ciência formativa que ajuda a raciocinar.

Índice

• 1 História
• 2 Conceitos Básicos
  • 2.1 Noções comuns
  • 2.2 Postulados ou axiomas
• 3 exemplos
  • 3.1 Primeiro exemplo
  • 3.2 Segundo exemplo
  • 3.3 Terceiro exemplo
• 4 referências

História

Para falar sobre a história da geometria euclidiana, é essencial começar com Euclides de Alexandria e Elementos.

Quando o Egito estava nas mãos de Ptolomeu I, após a morte de Alexandre, o Grande, ele iniciou seu projeto em uma escola em Alexandria.

Entre os sábios que ensinaram na escola estava Euclides. Especula-se que seu nascimento date aproximadamente de 325 a. C. e sua morte de 265 a. C. Podemos saber com certeza que ele foi para a escola de Platão.

Por mais de trinta anos, Euclides ensinou em Alexandria, construindo seus famosos elementos: começou a escrever uma descrição exaustiva da matemática de seu tempo. Os ensinamentos de Euclides produziram excelentes discípulos, como Arquimedes e Apolônio de Perga.

Euclides foi responsável por estruturar as descobertas discrepantes dos gregos clássicos no Elementosmas, diferentemente de seus predecessores, não se limita a afirmar que um teorema é verdadeiro; Euclides oferece uma demonstração.

O Elementos Eles são um compêndio de treze livros. Depois da Bíblia, é o livro mais publicado, com mais de mil edições.

O Elementos é a obra-prima de Euclides no campo da geometria, e oferece um tratamento definitivo da geometria de duas dimensões (o plano) e três dimensões (espaço), sendo esta a origem do que hoje conhecemos como geometria euclidiana.

Conceitos básicos

Os elementos são compostos de definições, noções e postulados comuns (ou axiomas) seguidos de teoremas, construções e demonstrações.

- Um ponto é aquele que não tem partes.

- Uma linha é um comprimento que não tem largura.

- Uma linha reta é aquela que está igualmente em relação aos pontos que estão nela.

- Se duas linhas são cortadas de modo que os ângulos adjacentes sejam iguais, os ângulos são chamados retos e as linhas são chamadas perpendiculares.

- Linhas paralelas são aquelas que, estando no mesmo plano, nunca são cortadas.

Após estas e outras definições, Euclides apresenta uma lista de cinco postulados e cinco noções.

Noções comuns

- Duas coisas que são iguais a um terço são iguais entre si.

- Se coisas iguais forem adicionadas às mesmas coisas, os resultados serão os mesmos.

- Se coisas iguais são subtraídas coisas iguais, os resultados são os mesmos.

- Coisas que coincidem entre si são iguais entre si.

- O total é maior que uma parte.

Postulados ou axiomas

- Para dois pontos diferentes, uma e apenas uma linha passa.

- Linhas retas podem se estender indefinidamente.

- Você pode desenhar um círculo com qualquer centro e qualquer raio.

- Todos os ângulos corretos são os mesmos.

- Se uma linha reta cruzar duas linhas retas de modo que os ângulos internos do mesmo lado somem menos de dois ângulos retos, as duas linhas se cruzarão nesse lado.

Este último postulado é conhecido como o postulado dos paralelos e foi reformulado da seguinte forma: "Para um ponto fora de uma linha, você pode desenhar um único paralelo para a linha dada".

Exemplos

Em seguida, alguns teoremas do Elementos eles servirão para mostrar propriedades de espaços geométricos onde os cinco postulados de Euclides são cumpridos; Além disso, ilustrarão o raciocínio lógico-dedutivo usado por esse matemático.

Primeiro exemplo

Proposição 1.4. (LAL)

Se dois triângulos têm dois lados e o ângulo entre eles é igual, então os outros lados e os outros ângulos são iguais.

Demonstração

Seja ABC e A'B'C 'dois triângulos com AB = A'B', AC = A'C 'e os ângulos BAC e B'A'C' iguais. Vamos para o triângulo A'B'C 'de modo que A'B' coincida com AB e o ângulo B'A'C 'coincida com o ângulo BAC.

Então, a linha A'C 'coincide com a linha AC, de modo que C' coincide com C. Então, pelo postulado 1, a linha BC deve coincidir com a linha B'C '. Portanto, os dois triângulos coincidem e, conseqüentemente, seus ângulos e lados são iguais.

Segundo exemplo

Proposição 1.5. (Pons Asinorum)

Se um triângulo tem dois lados iguais, então os ângulos opostos são iguais.

Demonstração

Suponha que o triângulo ABC tenha lados iguais AB e AC.

Vamos desenhar a bissetriz do ângulo BAC e deixar D ser o ponto em que a bissetriz corta para o lado BC.

Então, os triângulos ABD e ACD têm dois lados iguais e os ângulos entre eles são iguais. Assim, pela proposição 1.4, os ângulos ABD e ACD são iguais.

Terceiro exemplo

Proposição 1.31

Você pode construir uma linha paralela a uma linha dada por um dado ponto.

CONSTRUÇÃO

Dada uma linha L e um ponto P, uma linha reta M é desenhada que passa por P e corta em L. Então uma linha N é desenhada através de P que corta para L. Agora, uma linha reta N que corta para M é plotada por P, formando um ângulo igual ao que L forma com M.

Afirmação

N é paralelo a L.

Demonstração

Suponha que L e N não sejam paralelos e se cruzem em um ponto A. Seja B um ponto em L além de A. Considere a linha O que passa por B e P. Então, O corta os ângulos de formação M que adicionam menos de dois em linha reta.

Então, por 1,5 a linha O deve cortar a linha L do outro lado de M, então L e O se cruzam em dois pontos, o que contradiz o postulado 1. Portanto, L e N devem ser paralelos.

Referências

1. Euclid, elementos, de, geometria Universidade Nacional Autônoma do México
2. Euclides Os primeiros seis livros e os décimo primeiro e décimo segundo elementos de Euclides
3. Eugenio Filloy Yague. Didática e história da geometria euclidiana Grupo editorial ibero-americano
4. K.Ribnikov. História da Matemática Mir Editorial
5. Viloria, N., & Leal, J. (2005) Geometria Analítica Plana. Editorial C.A. Venezuelana