Método de Interpolação Linear, Exercícios Resolvidos

O interpolação linear é um método que se origina da interpolação geral de Newton e permite determinar por aproximação um valor desconhecido que está entre dois números dados; isto é, existe um valor intermediário. Ele também é aplicado a funções aproximadas, onde os valores f_a) e f_b) eles são conhecidos e você quer saber o intermediário de f_(x).

Existem diferentes tipos de interpolação, como linear, quadrática, cúbica e de maior grau, sendo a mais simples a aproximação linear. O preço que deve ser pago com interpolação linear é que o resultado não será tão preciso quanto com aproximações por funções de notas mais altas.

Índice

• 1 definição
• 2 Método
• 3 exercícios resolvidos
  • 3.1 Exercício 1
  • 3.2 Exercício 2
• 4 referências

Definição

A interpolação linear é um processo que permite deduzir um valor entre dois valores bem definidos, que podem estar em uma tabela ou em um gráfico linear.

Por exemplo, se você sabe que 3 litros de leite valem $ 4 e que 5 litros valem $ 7, mas você quer saber qual é o valor de 4 litros de leite, interpole para determinar esse valor intermediário.

Método

Para estimar um valor intermediário de uma função, a função f é aproximada_(x) por meio de uma linha reta r_(x), o que significa que a função varia linearmente com "x" para um trecho "x = a" e "x = b"; isto é, para um valor "x" no intervalo (x₀x₁) e (e₀e₁), o valor de "y" é dado pela linha entre os pontos e é expresso pela seguinte relação:

(e - e₀) X (x - x₀) = (e₁ - e₀) ÷ (x₁ - x₀)

Para que uma interpolação seja linear, é necessário que o polinômio de interpolação seja de grau um (n = 1), de modo que se ajuste aos valores de x₀ e x_1.

A interpolação linear é baseada na similaridade de triângulos, de modo que, derivando geometricamente da expressão anterior, podemos obter o valor de "y", que representa o valor desconhecido para "x".

Uma extrapolação é aquela em que se assume que o intervalo a ser interpolado é x₀ ˂ x ˂ x_1, se for diferente desse intervalo. Partindo da equação da linha, que é: y = ax + b, onde "a" é um coeficiente angular e "b" é um coeficiente linear - como mostrado na figura - dois triângulos com uma hipotenusa direita são formados. Por semelhança de triângulos, você tem que:

Dessa forma você tem que:

a = tan Ɵ = (lado oposto₁ ÷ perna adjacente₁) = (lado oposto₂ ÷ perna adjacente₂)

Expressado diferentemente, é:

(e - e₀) X (x - x₀) = (e₁ - e₀) ÷ (x₁ - x₀)

Apagando "e" das expressões, você tem:

(e - e₀) _* (x₁ - x₀) = (x - x₀) _* (e₁ - e₀)

(e - e₀) = (e₁ - e₀) _* [(x - x₀) ÷ (x₁ - x₀)]

Assim, obtemos a equação geral para interpolação linear:

y = y_{0 +} (e₁ - e₀) _* [(x - x₀) ÷ (x₁ - x₀)]

Em geral, a interpolação linear fornece um pequeno erro sobre o valor real da função verdadeira, embora o erro seja mínimo comparado a se você escolher intuitivamente um número próximo ao que você deseja encontrar.

Esse erro ocorre quando você tenta aproximar o valor de uma curva com uma linha reta; para esses casos, o tamanho do intervalo deve ser reduzido para tornar a abordagem mais precisa.

Para obter melhores resultados com relação à abordagem, é aconselhável usar funções de grau 2, 3 ou até mesmo superior para executar a interpolação. Para estes casos, o teorema de Taylor é uma ferramenta muito útil.

Exercícios resolvidos

Exercício 1

O número de bactérias por unidade de volume existente em uma incubação após x horas é apresentado na tabela a seguir. Você quer saber qual é o volume de bactérias durante o tempo de 3,5 horas.

Solução

A tabela de referência não estabelece um valor que indique a quantidade de bactérias por um tempo de 3,5 horas, mas tem valores maiores e menores correspondentes a um tempo de 3 e 4 horas, respectivamente. Dessa forma:

x₀ = 3 e₀ = 91

x = 3,5 y =?

x₁ = 4 e₁ = 135

Agora, a equação matemática é aplicada para encontrar o valor interpolado, que é o seguinte:

y = y_{0 +} (e₁ - e₀) _* [(x - x₀) ÷ (x₁ - x₀)].

Então os valores correspondentes são substituídos:

y = 91 + (135 - 91) _* [(3,5 - 3) ÷ (4 - 3)]

y = 91 + (44)_* [(0,5) ÷ (1)]

y = 91 + 44 _* 0,5

y = 113

Assim, obtém-se que, durante um período de 3,5 horas, o número de bactérias é de 113, o que representa um nível intermédio entre o volume de bactérias existentes às 3 e 4 horas.

Exercício 2

Luis tem uma fábrica de sorvetes e ele quer fazer um estudo para determinar a renda que ele tinha em agosto com as despesas feitas. O gerente da empresa faz um gráfico que expressa essa relação, mas Luis quer saber:

Quais são as receitas para agosto, se uma despesa de US $ 55.000 foi feita?

Solução

Um gráfico é dado com valores de receita e despesas. Luis quer saber qual é a receita de agosto se a fábrica tiver uma despesa de US $ 55.000.Esse valor não é refletido diretamente no gráfico, mas os valores acima e abaixo estão disponíveis.

Primeiro é feita uma tabela onde relacionar os valores com facilidade:

Agora, a fórmula de interpolação é usada para determinar o valor de y

y = y_{0 +} (e₁ - e₀) _* [(x - x₀) ÷ (x₁ - x₀)]

Então os valores correspondentes são substituídos:

y = 56.000 + (78.000 - 56.000) _* [(55.000 - 45.000) ÷ (62.000 - 45.000)]

y = 56.000 + (22.000) _* [(10.000) ÷ (17.000)]

y = 56.000 + (22.000) _* (0,588)

y = 56.000 + 12.936

y = US $ 68.936.

Se uma despesa de US $ 55.000 foi feita em agosto, a receita foi de US $ 68.936.

Referências

1. Arthur Goodman, L. H. (1996). Álgebra e trigonometria com geometria analítica. Educação Pearson.
2. Harpe, P. d. (2000). Tópicos em Teoria de Grupos Geométricos. Imprensa da Universidade de Chicago.
3. Hazewinkel, M. (2001). Interpolação Linear ", Enciclopédia da Matemática.
4. J. M. (1998). Elementos de métodos numéricos para engenharia. UASLP.
5. , E. (2002). Uma cronologia da interpolação: da antiga astronomia ao moderno sinal e processamento de imagens. Anais do IEEE.
6. numérica, I. a. (2006). Xavier Tomás, Jordi Cuadros, Lucinio González.