Explicação e exercícios da lei do sanduíche



A lei do sanduíche é um método que permite operar com frações; especificamente, permite dividir frações. Em outras palavras, divisões de números racionais podem ser feitas através desta lei. A lei do sanduíche é uma ferramenta útil e simples de lembrar.

Neste artigo, vamos considerar apenas o caso da divisão de números racionais que não são ambos inteiros. Esses números racionais também são conhecidos como números fracionários ou quebrados.

Explicação

Suponha que você precise dividir dois números fracionários a / b ÷ c / d. A lei do sanduíche consiste em expressar essa divisão da seguinte maneira:

Esta lei afirma que o resultado é obtido pela multiplicação do número localizado na extremidade superior (neste caso, o número "a") pelo número da extremidade inferior (neste caso "d"), e dividindo essa multiplicação pelo produto da números do meio (neste caso, "b" e "c"). Assim, a divisão anterior é igual a um × d / b × c.

Pode ser observado na forma de expressar a divisão anterior que a linha média é mais longa que a dos números fracionários. Também é apreciado que é semelhante a um sanduíche, dado que as coberturas são os números fracionários que devem ser divididos.

Essa técnica de divisão também é conhecida como C duplo, já que um "C" grande pode ser usado para identificar o produto dos números extremos e um "C" menor para identificar o produto dos números do meio:

Ilustração

Números fracionários ou racionais são números da forma m / n, onde "m" e "n" são inteiros. O inverso multiplicativo de um número racional m / n consiste em outro número racional que, quando multiplicado por m / n, produz o número um (1).

Este inverso multiplicativo é denotado por (m / n)-1 e é igual a n / m, uma vez que m / n × n / m = m × n / n × m = 1. Por notação, você também precisa (m / n)-1= 1 / (m / n).

A justificativa matemática da lei do sanduíche, bem como de outras técnicas existentes para dividir frações, reside no fato de que ao dividir dois números racionais a / b ec / d, no fundo o que está sendo feito é a multiplicação de um / b pelo inverso multiplicativo de c / d. Isto é:

a / b ÷ c / d = a / b × 1 / (c / d) = a / b × (c / d)-1= a / b × d / c = a × d / b × c, como anteriormente obtido.

Para não sobrecarregar, algo que deve ser levado em conta antes de usar a lei do sanduíche é que ambas as frações são tão simplificadas quanto possível, uma vez que há casos em que não é necessário usar a lei.

Por exemplo, 8/2 ÷ 16/4 = 4 ÷ 4 = 1. A lei do sanduíche poderia ter sido usada, obtendo o mesmo resultado após a simplificação, mas a divisão também pode ser feita diretamente, uma vez que os numeradores são divisíveis entre os denominadores.

Outra coisa importante a considerar é que essa lei também pode ser usada quando é necessário dividir um número fracionário por um número inteiro. Nesse caso, você deve colocar um 1 abaixo do número inteiro e continuar a usar a lei do sanduíche como antes. Isto é assim porque qualquer número inteiro k satisfaz que k = k / 1.

Exercícios

Abaixo está uma série de divisões em que a lei do sanduíche é usada:

  • 2÷(7/3)=(2/1)÷(7/3)=(2×3)/(1×7)=6/7.
  • 2/4÷5/6=1/2÷5/6=1×6/2×5=6/10=3/5.

Neste caso, as frações 2/4 e 6/10 foram simplificadas, dividindo-se por 2 para cima e para baixo. Este é um método clássico para simplificar frações, encontrando os divisores comuns do numerador e do denominador (se houver) e dividindo ambos entre o divisor comum até obter uma fração irredutível (na qual não há divisores comuns).

  • (xy + y) / z ÷ (x + 1) / z2= (xy + y) z2/ z (x + 1) = (x + 1) yz2/ z (x + 1) = yz.

Referências

  1. Almaguer, G. (2002). Matemática 1. Editorial Limusa.
  2. Álvarez, J., Jácome, J., López, J., Cruz, E., e Tetumo, J. (2007). Matemática básica, elementos de suporte. Univ. J. Autónoma de Tabasco.
  3. Bills, B. (1839). Princípios da aritmética. Impresso por Ignacio Cumplido.
  4. Barker, L. (2011). Textos Nivelados para Matemática: Número e Operações. Materiais Criados por Professores.
  5. Barrios, A. A. (2001). Matemática 2 Editorial de progresso.
  6. Eguiluz, M. L. (2000). Frações: dor de cabeça? Livros Noveduc.
  7. García Rua, J. e Martínez Sánchez, J. M. (1997). Matemática elementar básica. Ministério da Educação.