Leis dos expoentes (com exemplos e exercícios resolvidos)

O leis de expoentes são aqueles que se aplicam àquele número que indica quantas vezes um número base deve ser multiplicado por si mesmo. Os expoentes também são conhecidos como poderes. A potenciação é uma operação matemática formada por uma base (a), o expoente (m) e a potência (b), que é o resultado da operação.

Os expoentes são geralmente usados ​​quando quantidades muito grandes são usadas, porque elas não são mais do que abreviaturas que representam a multiplicação desse mesmo número um certo número de vezes. Os expoentes podem ser positivos e negativos.

Índice

• 1 Explicação das leis dos expoentes
  • 1.1 Primeira lei: poder do expoente igual a 1
  • 1.2 Segunda lei: potência do expoente igual a 0
  • 1.3 Terceira lei: expoente negativo
  • 1.4 Quarta lei: multiplicação de poderes com base igual
  • 1.5 Quinta lei: divisão de poderes com base igual
  • 1.6 Sexta lei: multiplicação de poderes com uma base diferente
  • 1.7 Sétima lei: divisão de poderes com uma base diferente
  • 1.8 Oitava lei: poder de uma potência
  • 1.9 Nona lei: expoente fracionário
• 2 exercícios resolvidos
  • 2.1 Exercício 1
  • 2.2 Exercício 2
• 3 referências

Explicação das leis dos expoentes

Como dito acima, os expoentes são uma forma abreviada que representa a multiplicação de números por si mesmos várias vezes, onde o expoente é relacionado apenas ao número à esquerda. Por exemplo:

2³ = 2*2*2 = 8

Nesse caso, o número 2 é a base da potência, que será multiplicada 3 vezes conforme indicado pelo expoente, localizado no canto superior direito da base. Existem diferentes maneiras de ler a expressão: 2 aumentadas para 3 ou também 2 para o cubo.

Os expoentes também indicam o número de vezes que podem ser divididos e, para diferenciar essa operação da multiplicação, o expoente carrega o sinal de menos (-) na frente dela (é negativo), o que significa que o expoente está no denominador de um fração. Por exemplo:

2^{- 4} = 1/ 2*2*2*2 = 1/16

Isso não deve ser confundido com o caso em que a base é negativa, pois dependerá se o expoente é par ou ímpar para determinar se a potência será positiva ou negativa. Então você tem que:

- Se o expoente é par, a potência será positiva. Por exemplo:

(-7)² = -7 _* -7 = 49.

- Se o expoente for ímpar, a potência será negativa. Por exemplo:

(-2)⁵ = (-2)*(-2)*(-2)*(-2)*(-2)=-32.

Há um caso especial em que se o expoente for igual a 0, a potência é igual a 1. Existe também a possibilidade de que a base seja 0; Nesse caso, dependendo do exposto, a potência será indeterminada ou não.

Para realizar operações matemáticas com os expoentes, é necessário seguir várias regras ou regras que facilitam encontrar a solução para essas operações.

Primeira lei: poder expoente igual a 1

Quando o expoente é 1, o resultado será o mesmo valor da base:¹ = a.

Exemplos

9¹ = 9.

22¹ = 22.

895¹ = 895.

Segunda lei: potência do expoente igual a 0

Quando o expoente é 0, se a base for diferente de zero, o resultado será :, um⁰ = 1.

Exemplos

1⁰ = 1.

323⁰=1.

1095⁰ = 1.

Terceira lei: expoente negativo

Como a exponencial é negativa, o resultado será uma fração, onde a potência será o denominador. Por exemplo, se m é positivo, então um^-m= 1 / a^m.

Exemplos

- 3^-1 = 1/ 3.

- 6^-2 = 1 / 6² = 1/36.

- 8^-3 = 1/ 8³ = 1/512.

Quarta lei: multiplicação de poderes com base igual

Para multiplicar poderes onde as bases são iguais e diferentes de 0, a base é mantida e os expoentes são adicionados:^m _* umⁿ = a^{m + n}.    

Exemplos

- 4⁴ _* 4³ = 4⁴⁺³ = 4⁷

- 8¹ _* 8⁴ = 8¹⁺⁴ = 8⁵

- 2² _* 2⁹ = 2²⁺⁹ = 2¹¹

Quinta lei: divisão de poderes com base igual

Para dividir potências nas quais as bases são iguais e diferentes de 0, a base é mantida e os expoentes são subtraídos como segue:^m / aⁿ = a^m-n.    

Exemplos

- 9² / 9¹ = 9 ^{(2 - 1)} = 9¹.

- 6¹⁵ / 6¹⁰ = 6 ^{(15 - 10)} = 6⁵.

- 49¹² / 49⁶ = 49 ^{(12 - 6)} = 49⁶.

Sexta lei: multiplicação de poderes com uma base diferente

Nesta lei, temos o oposto do que é expresso no quarto; isto é, se existem bases diferentes com expoentes iguais, as bases são multiplicadas e o expoente é mantido:^m _* b^m = (a_*b) ^m.

Exemplos

- 10² _* 20² = (10 _* 20)² = 200².

- 45¹¹ _* 9¹¹ = (45*9)^{11 =} 405¹¹.

Outra maneira de representar esta lei é quando a multiplicação é elevada a um poder. Assim, o expoente pertencerá a cada um dos termos: (a_*b)^m= a^m_* b^m.

Exemplos

- (5_*8)⁴ = 5⁴ _* 8⁴ = 40⁴.

- (23 * 7)⁶ = 23⁶ _* 7⁶ = 161⁶.

Sétima lei: divisão de poderes com base diferente

Se houver bases diferentes, mas com expoentes iguais, as bases são divididas e o expoente é mantido:^m / b^m = (a / b)^m.

Exemplos

- 30³ / 2³ = (30/2)³ = 15³.

- 440⁴ / 80⁴ = (440/80)⁴ = 5,5⁴.

Da mesma forma, quando uma divisão é elevada a um poder, o expoente pertencerá a cada um dos termos: (a / b) ^m = a^m / b^m.

Exemplos

- (8/4)⁸ = 8⁸ / 4⁸ = 2⁸.

- (25/5)² = 25² / 5² = 5².

Há um caso em que o expoente é negativo. Então, para ser positivo, o valor do numerador é invertido com o do denominador, da seguinte maneira:

- (a / b)^-n = (b / a)ⁿ = bⁿ / aⁿ.

- (4/5) ^-9 = ( 5 / 4) ⁹ = 5⁹ / 4⁴.

Oitava lei: poder de um poder

Quando você tem um poder que é elevado a outro poder - isto é, dois expoentes ao mesmo tempo -, a base é mantida e os expoentes se multiplicam:^m)ⁿ= a^{m *n}.

Exemplos

- (8³)² = 8 ^(3*2) = 8⁶.

- (13⁹)³ = 13 ^(9*3) = 13²⁷.

- (238¹⁰)¹² = 238^{(10 * 12)} = 238¹²⁰.

Nona lei: expoente fracionário

Se o poder tiver uma fração como um expoente, ele será resolvido transformando-o em uma enésima raiz, onde o numerador permanece como um expoente e o denominador representa o índice da raiz:

Exemplo

Exercícios resolvidos

Exercício 1

Calcule as operações entre os poderes que possuem bases diferentes:

2⁴ _* 4⁴ / 8².

Solução

Aplicando as regras dos expoentes, no numerador as bases são multiplicadas e o expoente é mantido, assim:

2⁴ _* 4⁴ / 8²=(2_*4)⁴ / 8²  =  8⁴ / 8²

Agora, como temos as mesmas bases, mas com expoentes diferentes, a base é mantida e os expoentes são subtraídos:

 8⁴ / 8² = 8^{(4 - 2)} = 8²

Exercício 2

Calcule as operações entre as altas potências para outra potência:

(3²)³ _* (2 _* 6⁵)^-2 _* (2²)³

Solução

Aplicando as leis, você precisa:

(3²)³ _* (2 _* 6⁵)^-2 _* (2²)³

=3⁶ _* 2^-2 _* 2^-10 _* 2⁶

=3⁶ _* 2^{(-2) + (- 10)} _* 2⁶

=3⁶ _*  2^-12 _* 2⁶

=3⁶ _* 2^{(-12) + (6)}

=3⁶ _* 2⁶

=(3_*2)⁶

=6⁶

=46.656

Referências

1. Aponte, G. (1998). Fundamentos da Matemática Básica. Educação Pearson.
2. Corbalán, F. (1997). Matemática aplicada à vida cotidiana.
3. Jiménez, J. R. (2009). Matemática 1 SET.
4. Max Peters, W. L. (1972). Álgebra e trigonometria
5. Rees, P. K. (1986). Reverte