Origem lógica matemática, o que estuda, tipos

O lógica matemática ou a lógica simbólica é uma linguagem matemática que inclui as ferramentas necessárias por meio das quais o raciocínio matemático pode ser afirmado ou negado.

É bem conhecido que na matemática não há ambigüidades. Dado um argumento matemático, isso é válido ou simplesmente não é. Não pode ser falso e verdadeiro ao mesmo tempo.

Um aspecto particular da matemática é que ela tem uma linguagem formal e rigorosa pela qual a validade de um raciocínio pode ser determinada. O que torna certo raciocínio ou qualquer prova matemática irrefutável? É disso que se trata a lógica matemática.

Assim, a lógica é a disciplina de matemática que é responsável por estudar o raciocínio e demonstrações matemáticas, e fornecendo as ferramentas para ser capaz de inferir corretamente a partir de algumas declarações ou proposições conclusão anterior.

Para isso, faz uso de axiomas e outros aspectos matemáticos que serão desenvolvidos posteriormente.

Índice

• 1 Origem e história
  • 1.1 Aristóteles
• 2 O que a lógica matemática estuda?
  • 2.1 Proposições
  • 2.2 Tabelas verdade
• 3 Tipos de lógica matemática
  • 3.1 Áreas
• 4 referências

Origem e história

As datas exatas com relação a muitos aspectos da lógica matemática são incertas. No entanto, a maioria das bibliografias sobre o assunto tem origem na antiga Grécia.

Aristóteles

O início do tratamento rigoroso da lógica é atribuída em parte a Aristóteles, que escreveu uma série de obras sobre lógica, que foram mais tarde compiladas e desenvolvidas por diferentes filósofos e cientistas até a Idade Média. Isso poderia ser considerado como "a velha lógica".

Então, onde é conhecida como a Idade Contemporânea, Leibniz, impulsionado por um profundo desejo de estabelecer uma linguagem universal para raciocinar matematicamente, e outros matemáticos tais como Gottlob Frege e Giuseppe Peano, nomeadamente influenciou o desenvolvimento da lógica matemática com grandes contribuições Entre eles, os Axiomas de Peano, que formulam propriedades indispensáveis ​​dos números naturais.

também foram influentes neste momento matemáticos George Boole e Georg Cantor, com contribuições importantes para definir as tabelas de teoria e verdade, que destacou, entre outras coisas, a álgebra booleana (por George Boole) e o axioma da escolha (por George Cantor)

Augustus De Morgan também com as leis conhecidas Morgan, contemplando negações, conjunções, disjunções e condicionais entre proposições, fundamentais para o desenvolvimento da lógica simbólica e as famosas diagramas de Venn John Venn.

No século XX, aproximadamente entre 1910 e 1913, Bertrand Russell e Alfred North Whitehead destacam-se com a publicação de Principia mathematica, um conjunto de livros que coleta, desenvolve e postula uma série de axiomas e resultados lógicos.

O que a lógica matemática estuda?

Proposições

A lógica matemática começa com o estudo de proposições. Uma proposição é uma afirmação que, sem qualquer ambiguidade, pode ser dita se é verdadeira ou não. A seguir, exemplos de proposições:

• 2+4=6.
• 5²=35.
• No ano de 1930 houve um terremoto na Europa.

A primeira é uma proposição verdadeira e a segunda é uma proposição falsa. O terceiro, embora seja possível que a pessoa que lê não sabe se é verdade ou para a direita, é uma declaração que pode ser verificado para determinar se ou não realmente aconteceu.

A seguir, exemplos de expressões que não são proposições:

• Ela é loira.
• 2x = 6
• Vamos jogar!
• Você gosta de filmes?

Na primeira proposição, não se especifica quem "ela" é, portanto, nada pode ser afirmado. Na segunda proposição, não foi especificado o que "x" representa. Se ao invés disso fosse dito que 2x = 6 para algum número natural x, neste caso corresponderia a uma proposição, de fato verdadeira, já que para x = 3 ela é satisfeita.

As duas últimas afirmações não correspondem a uma proposição, pois não há como negá-las ou afirmá-las.

Duas ou mais proposições podem ser combinadas (ou conectadas) usando os conectores conectivos (ou conectores) conhecidos. Estes são:

• Negação: "Não está chovendo".
• Disjunção: "Luisa comprou uma bolsa branca ou cinza".
• Conjunção: "4²= 16 e 2 × 5 = 10 ".
• Condicional: "Se chover, então não vou ao ginásio esta tarde".
• Biconditional: "Vou ao ginásio esta tarde se, e só se, não chover".

Uma proposição que não tem nenhum do conectivo anterior, é chamada proposição simples (ou atômica). Por exemplo, "2 é menor que 4", é uma proposta simples. As proposições que possuem algum conectivo são chamadas proposições compostas, como por exemplo "1 + 3 = 4 e 4 é um número par".

As declarações feitas por meio de proposições são geralmente longas, por isso é tedioso escrevê-las sempre como vimos até agora.Portanto, uma linguagem simbólica é usada. As proposições são geralmente representadas por letras maiúsculas, como P, Q, R, Setc. E o conectivo simbólico da seguinte forma:

De modo que

O recíproco de uma proposição condicional

é a proposição

E a contra-abordagem (ou contrapositivo) de uma proposição

é a proposição

Tabelas verdade

Outro conceito importante na lógica é o das tabelas de verdade. Os valores de verdade de uma proposição são as duas opções que você tem para uma proposição: verdadeira (o que é indicado por V e dizer o seu valor verdade é V) ou falso (que é denotado por F e dizer que o seu valor realmente é F).

O valor de verdade de uma proposição composta depende exclusivamente dos valores de verdade das proposições simples que aparecem nela.

Para trabalhar de maneira mais geral, não consideraremos proposições específicas, mas variáveis ​​proposicionais p, q, r, s, etc., que representará quaisquer proposições.

Com estas variáveis ​​e os conectores lógicos fórmulas proposicional conhecidos como proposições compostos são construídos são formados.

Se cada uma das variáveis ​​que aparecem em uma fórmula proposicional é substituída por uma proposição, uma proposição composta é obtida.

Abaixo estão as tabelas de verdade para conectivos lógicos:

Existem fórmulas proposicional que recebem apenas o valor de V em sua tabela de verdade, isto é, a última coluna da tabela de verdade só tem o valor V. Este tipo de fórmula é conhecido como tautologias. Por exemplo:

O seguinte é a tabela de verdade da fórmula

Diz-se que uma fórmula α implica logicamente outra fórmula β, se α é verdadeira toda vez que β é verdadeiro. Ou seja, na tabela de verdade de α e β, onde as linhas alfa tem um V, β também tem um V. Somente linhas relevantes onde α tem o valor V. A notação para implicação lógica é a seguinte :

A tabela a seguir resume as propriedades da implicação lógica:

Diz-se que duas fórmulas proposicionais são logicamente equivalentes se suas tabelas verdadeiras são idênticas. A seguinte notação é usada para expressar a equivalência lógica:

As tabelas a seguir resumem as propriedades da equivalência lógica:

Tipos de lógica matemática

Existem diferentes tipos de lógica, especialmente se a lógica informal pragmático ou filosofia que visa, entre outras áreas é levado em conta.

No que diz respeito à matemática, os tipos de lógica podem ser resumidos da seguinte forma:

• Lógica formal ou lógica aristotélica (lógica antiga).
• Lógica proposicional: é responsável pelo estudo de tudo relacionado à validade de argumentos e proposições, utilizando uma linguagem formal e também simbólica.
• lógica simbólica focada no estudo de conjuntos e propriedades, também com uma linguagem formal e simbólica, e está profundamente ligada à lógica proposicional.
• A lógica combinatória: uma das mais recentes, envolve resultados que podem ser desenvolvidos por algoritmos.
• Programação lógica: usada nos vários pacotes e linguagens de programação.

Areas

Entre as áreas que fazem uso da lógica matemática de maneira indispensável no desenvolvimento de seus argumentos e argumentos, eles enfatizam a filosofia, a teoria dos conjuntos, a teoria dos números, a matemática algébrica construtiva e as linguagens de programação.

Referências

1. Aylwin, C. U. (2011). Lógica, Conjuntos e Números. Mérida - Venezuela: Conselho de Publicações da Universidad de Los Andes.
2. Barrantes, H., Diaz, P., Murillo, M., & Soto, A. (1998). Introdução à Teoria dos Números. EUNED.
3. Castañeda, S. (2016). Curso básico em teoria dos números. Universidade do Norte.
4. Cofré, A. e Tapia, L. (1995). Como Desenvolver Raciocínio Lógico Matemático Universidade Editorial.
5. Zaragoza, A. C. (s.f.). Teoria dos números Livros de visão editorial.