Noções básicas de álgebra de vetor, magnitudes, vetores



O álgebra do vetor é um ramo da matemática responsável pelo estudo de sistemas de equações lineares, vetores, matrizes, espaços vetoriais e suas transformações lineares. Está relacionado a áreas como engenharia, resolução de equações diferenciais, análise funcional, pesquisa operacional, computação gráfica, entre outras.

Outra área que tem adotado a álgebra linear é físico, porque através desta tem sido capaz de desenvolver o estudo de fenômenos físicos, descrevendo-os usando vetores. Isso possibilitou uma melhor compreensão do universo.

Índice

  • 1 fundamentos
    • 1.1 Geometricamente
    • 1.2 Analiticamente
    • 1.3 Axiomaticamente
  • 2 magnitudes
    • 2.1 magnitude escalar
    • Magnitude 2,2 Vector
  • 3 O que são vetores?
    • 3.1 Módulo
    • 3.2 Endereço
    • 3.3 Sentido
  • 4 Classificação de vetores
    • 4.1 vetor fixo
    • 4.2 vector grátis
    • 4.3 vetor deslizante
  • 5 Propriedades dos vetores
    • 5.1 equipolentes Vetores
    • 5.2 Vetores Equivalentes
    • 5.3 Igualdade de vetores
    • 5.4 Vetores Opostos
    • 5,5 unidades vetoriais
    • 5.6 Vetor Nulo
  • 6 componentes de um vetor
    • 6.1 Exemplos
  • 7 Operações com vetores
    • 7.1 Adicionando e subtraindo vetores
    • 7.2 Multiplicação de vetores
  • 8 referências

Noções básicas

Vector álgebra originado a partir do estudo de quatérnions (extensão de números reais) 1, i, j, k, bem como geometria cartesiana promovido por Gibbs e Heaviside, que percebeu que os vectores de servir como uma ferramenta para representam vários fenômenos físicos.

A álgebra vetorial é estudada através de três fundamentos:

Geometricamente

Vetores são representados por linhas que possuem orientação, e operações como adição, subtração e multiplicação por números reais são definidas através de métodos geométricos.

Analiticamente

A descrição dos vetores e suas operações é feita com números, chamados componentes. Este tipo de descrição é o resultado de uma representação geométrica porque um sistema de coordenadas é usado.

Axiomaticamente

Uma descrição dos vetores é feita, independentemente do sistema de coordenadas ou de qualquer tipo de representação geométrica.

O estudo das figuras no espaço é feito através de sua representação em um sistema de referência, que pode estar em uma ou mais dimensões. Entre os principais sistemas são:

- sistema dimensional, que é uma recta onde um ponto (ó) é a origem e um ponto (P), determina a escala (comprimento) e direcção deste:

- retangular sistema (bidimensional), o qual é constituído por duas linhas perpendiculares chamados eixo x e do eixo y de coordenadas, que passa através de um ponto (ó) de origem; Desta forma, o avião é dividido em quatro regiões chamadas quadrantes. Neste caso, um ponto (P) no plano é dado pelas distâncias que existem entre os eixos e P.

- Sistema de coordenadas polares (bidimensional). Neste caso o sistema é composto de um ponto O (origem) que é chamado de pólo e um raio com origem O chamado eixo polar. Neste caso, o ponto P do avião, com referência para o pólo e o eixo polar, é dada pelo ângulo (ɵ), que é formada pela distância entre a origem e o ponto P.

- Sistema tridimensional retangular, formado por três linhas perpendiculares (x, y, z) que têm como origem um ponto O no espaço. Três planos coordenados são formados: xy, xz e yz; o espaço será dividido em oito regiões chamadas octants. A referência de um ponto P do espaço é dada pelas distâncias que existem entre os planos e P.

Magnitudes

Uma magnitude é uma grandeza física que pode ser contada ou medida através de um valor numérico, como no caso de alguns fenômenos físicos; No entanto, muitas vezes é necessário ser capaz de descrever esses fenômenos com outros fatores além dos números. É por isso que as magnitudes são classificadas em dois tipos:

Magnitude escalar

São aquelas quantidades que são definidas e representadas numericamente; isto é, por um módulo em conjunto com uma unidade de medida. Por exemplo:

a) Tempo: 5 segundos.

b) Massa: 10 kg.

c) Volume: 40 ml.

d) Temperatura: 40 ºC.

Magnitude vetorial

São aquelas quantidades que são definidas e representadas por um módulo junto com uma unidade, bem como por um sentido e direção. Por exemplo:

a) Velocidade: (5ȋ - 3ĵ) m / s.

b) Aceleração: 13 m / s2; S 45º E.

c) Força: 280 N, 120º.

d) Peso: -40 ĵ kg-f.

As grandezas vetoriais são representadas graficamente por vetores.

O que são vetores?

Vetores são representações gráficas de magnitude vetorial; ou seja, são segmentos de linha nos quais o ponto final é a ponta de uma seta.

Estes são determinados pelo módulo ou comprimento de segmento, na direcção que está indicada pela ponta da seta e a sua direcção de acordo com a linha a que pertence. A origem de um vetor também é conhecida como o ponto de aplicação.

Os elementos de um vetor são os seguintes:

Módulo

É a distância da origem até o final de um vetor, representado por um número real junto com uma unidade. Por exemplo:

| OM | = | A | = A = 6 cm

Endereço

É a medida do ângulo entre o eixo x (do positivo) e o vetor, assim como os pontos cardeais (norte, sul, leste e oeste).

Sentido

É dado pela ponta da seta localizada no final do vetor, indicando para onde está indo.

Classificação de vetores

Geralmente, os vetores são classificados como:

Vetor fixo

É aquele cujo ponto de aplicação (origem) é fixo; isto é, que fica amarrado a um ponto do espaço, pelo que não pode deslocar-se neste.

Vetor livre

Ele pode se mover livremente no espaço porque sua origem se move para qualquer ponto sem alterar seu módulo, direção ou direção.

Vetor de deslizamento

É aquele que pode mover sua origem ao longo de sua linha de ação sem alterar seu módulo, sentido ou direção.

Propriedades dos vetores

Entre as principais propriedades dos vetores estão os seguintes:

Vetores Equipolentes

São aqueles vetores livres que possuem o mesmo módulo, direção (ou são paralelos) e percebem que um vetor deslizante ou um vetor fixo.

Vetores equivalentes

Acontece quando dois vetores têm a mesma direção (ou são paralelos), o mesmo sentido, e apesar de terem módulos e pontos de aplicação diferentes, causam efeitos iguais.

Igualdade de vetores

Eles têm o mesmo módulo, direção e sentido, mesmo que seus pontos de partida sejam diferentes, o que permite que um vetor paralelo se mova sem afetá-lo.

Vetores opostos

Eles são aqueles que têm o mesmo módulo e direção, mas seu sentido é o oposto.

Unidade de vetor

É aquele em que o módulo é igual à unidade (1). Isto é obtido dividindo o vetor pelo seu módulo e é usado para determinar a direção e o sentido de um vetor, seja no plano ou no espaço, usando os vetores normalizados básicos ou unitizados, que são:

Vetor nulo

É aquele cujo módulo é igual a 0; isto é, seu ponto de origem e extremo coincidem no mesmo ponto.

Componentes de um vetor

Os componentes de um vetor são aqueles valores das projeções do vetor nos eixos do sistema de referência; Dependendo da decomposição do vetor, que pode ser em dois ou três eixos dimensionais, dois ou três componentes serão obtidos, respectivamente.

Os componentes de um vetor são números reais, que podem ser positivos, negativos ou até zero (0).

Assim, se é um Um vector, originário de um sistema rectangular na xy (bidimensional) plano de coordenadas, a projecção sobre o eixo x é x e a projecção sobre o eixo y é AY. Assim, o vetor será expresso como a soma de seus vetores componentes.

Exemplos

Primeiro exemplo

Nós temos um vetor que começa a partir da origem e as coordenadas de suas extremidades são dadas. Assim, o vetor  = (Âx; Ume) = (4; 5) cm.

Se um vector actua na origem de um sistema de coordenadas de triangular tridimensional (no espaço) x, y, z, a um outro ponto (P), as projecções dos seus eixos são Ax, Ay e Az; assim, o vetor será expresso como a soma de seus três vetores componentes.

Segundo exemplo

Nós temos um vetor que começa a partir da origem e as coordenadas de suas extremidades são dadas. Assim, o vetor  = (Ax; Ume; Umz) = (4; 6; -3) cm.

Os vetores que possuem suas coordenadas retangulares podem ser expressos em termos de seus vetores base. Para isso, somente cada coordenada deve ser multiplicada pelo respectivo vetor unitário, de tal forma que para o plano e o espaço serão os seguintes:

Para o avião: Â = Axi + Aej.

Para o espaço: Â = Axi + Aej + Azk.

Operações com vetores

Existem muitas grandezas que possuem módulo, sentido e direção, como aceleração, velocidade, deslocamento, força, entre outras.

Estes são aplicados em diversas áreas da ciência, e para aplicá-los é necessário, em alguns casos, realizar operações como adição, subtração, multiplicação e divisão de vetores e escalares.

Adição e subtração de vetores

A adição e subtração de vetores é considerada uma única operação algébrica porque a subtração pode ser escrita como uma soma; Por exemplo, a subtração dos vetores  e Ē pode ser expressa como:

Ā - Ē = Ā + (-Ē)

Existem diferentes métodos para realizar a adição e subtração de vetores: eles podem ser gráficos ou analíticos.

Métodos gráficos

Usado quando um vetor tem um módulo, sentido e direção. Para fazer isso, são desenhadas linhas que formam uma figura que depois ajuda a determinar o resultante. Entre os mais conhecidos, destacam-se os seguintes:

Método Paralelogramo

Para fazer a adição ou subtração de dois vetores, um ponto comum é escolhido no eixo das coordenadas - o que representará o ponto de origem dos vetores -, mantendo seu módulo, direção e direção.

Então as linhas são desenhadas paralelamente aos vetores para formar um paralelogramo. O vetor resultante é a diagonal que sai do ponto de origem de ambos os vetores até o vértice do paralelogramo:

Método do triângulo

Neste método, os vetores são colocados um após o outro, mantendo seus módulos, direções e direções.O vetor resultante será a união da origem do primeiro vetor com o final do segundo vetor:

Métodos analíticos

Você pode adicionar ou subtrair dois ou mais vetores através de um método geométrico ou vetorial:

Método geométrico

Quando dois vetores formam um triângulo ou paralelogramo, o módulo e a direção do vetor resultante podem ser determinados usando as leis de seno e cosseno. Assim, o módulo do vetor resultante, aplicando a lei do cosseno e pelo método do triângulo, é dado por:

Nessa fórmula, β é o ângulo oposto ao lado R, e isso é igual a 180º - Ɵ.

Em contraste, pelo método de paralelogramo, o módulo vetorial resultante é:

A direção do vetor resultante é dada pelo ângulo (α), que forma o resultante com um dos vetores.

Pela lei do seno, a adição ou subtração de vetores também pode ser feita pelo método do triângulo ou paralelogramo, sabendo que em cada triângulo os lados são proporcionais aos seios dos ângulos:

Método vector

Isso pode ser feito de duas maneiras: dependendo de suas coordenadas retangulares ou seus vetores de base.

Isso pode ser feito transferindo os vetores que serão adicionados ou subtraídos à origem das coordenadas e, em seguida, todas as projeções em cada um dos eixos para o plano (x, y) ou espaço (x, e, z); finalmente, seus componentes são adicionados algebricamente. Então, para o avião é:

O módulo do vetor resultante é:

Enquanto para o espaço é:

O módulo do vetor resultante é:

Ao realizar somas vetoriais, várias propriedades são aplicadas, que são:

- Propriedade associativa: o resultante não muda adicionando dois vetores primeiro e, em seguida, adicionando um terceiro vetor.

- Propriedade comutativa: a ordem dos vetores não altera o resultante.

- Propriedade distributiva vetorial: se um escalar é multiplicado pela soma de dois vetores, é igual à multiplicação do escalar para cada vetor.

- Propriedade distributiva escalar: se um vetor é multiplicado pela soma de dois escalares, é igual à multiplicação do vetor para cada escalar.

Multiplicação de vetores

A multiplicação ou o produto de vetores pode ser feito como adição ou subtração, mas, ao fazê-lo, perde o significado físico e quase nunca é encontrado nas aplicações. Por esse motivo, os tipos de produtos mais utilizados são o produto escalar e vetorial.

Produto escalar

Também é conhecido como um produto pontuado de dois vetores. Quando os módulos de dois vetores são multiplicados pelo cosseno do ângulo menor que é formado entre eles, um escalar é obtido. Para expressar um produto escalar entre dois vetores, um ponto é colocado entre eles, e isso pode ser definido como:

O valor do ângulo que existe entre os dois vetores dependerá se eles são paralelos ou perpendiculares; Então você tem que:

- Se os vetores são paralelos e têm o mesmo sentido, cosseno 0º = 1.

- Se os vetores são paralelos e possuem sentidos opostos, cosseno 180º = -1.

- Se os vetores são perpendiculares, cosseno 90º = 0.

Esse ângulo também pode ser calculado sabendo que:

O produto escalar tem as seguintes propriedades:

- Propriedade comutativa: a ordem dos vetores não altera o escalar.

- Propriedade distributiva: se um escalar é multiplicado pela soma de dois vetores, é igual à multiplicação do escalar para cada vetor.

Produto vetor

A multiplicação vetorial, ou produto cruzado de dois vetores A e B, resultará em um novo vetor C e será expresso usando um cruzamento entre os vetores:

O novo vetor terá suas próprias características. Assim:

- A direção: este novo vetor será perpendicular ao plano, que é determinado pelos vetores originais.

- O sentido: isso é determinado com a regra da mão direita, onde o vetor A é girado em direção ao B, apontando a direção da rotação com os dedos, e com o polegar o sentido do vetor é marcado.

- O módulo: é determinado pela multiplicação dos módulos dos vetores AxB, pelo seno do menor ângulo que existe entre esses vetores. É expresso:

O valor do ângulo que existe entre os dois vetores dependerá se eles são paralelos ou perpendiculares. Então, é possível afirmar o seguinte:

- Se os vetores são paralelos e têm o mesmo sentido, sin 0º = 0.

- Se os vetores são paralelos e têm sentidos opostos, seno 180º = 0.

- Se os vetores são perpendiculares, seno 90º = 1.

Quando um produto vetorial é expresso em termos de seus vetores base, ele deve:

O produto escalar tem as seguintes propriedades:

- Não é comutativo: a ordem dos vetores altera o escalar.

- Propriedade distributiva: se um escalar é multiplicado pela soma de dois vetores, é igual à multiplicação do escalar para cada vetor.

Referências

  1. Altman Naomi, M. K. (2015). "Regressão Linear Simples." Métodos da Natureza.
  2. Angel, A. R. (2007). Álgebra Elementar Educação Pearson,.
  3. Arthur Goodman, L. H. (1996). Álgebra e trigonometria com geometria analítica. Educação Pearson.
  4. Gusiatnikov, P., & Reznichenko, S. (s.f.). Algebr para Vectorial em Exemplos. Moscou: Mir.
  5. Lay, D. C. (2007).Álgebra Linear e suas aplicações. Educação Pearson.
  6. Llinares, J. F. (2009). Álgebra Linear: espaço vetorial. Espaço vetorial euclidiano. Universidade de Alicante.
  7. Mora, J. F. (2014). Álgebra Linear. Pátria