Paralelepiped características, tipos, área, volume

Um paralelepípedo é um corpo geométrico formado por seis faces, cuja principal característica é que todas as suas faces são paralelogramos e também suas faces opostas são paralelas entre si. É um poliedro comum em nossa vida cotidiana, pois podemos encontrá-lo em caixas de sapato, na forma de um tijolo, na forma de um microondas, etc.

Sendo um poliedro, o paralelepípedo encerra um volume finito e todas as suas faces são planas. Faz parte do grupo de prismas, que são aqueles poliedros nos quais todos os seus vértices estão contidos em dois planos paralelos.

Índice

• 1 elementos do paralelepípedo
  • 1.1 Faces
  • 1.2 Edges
  • 1.3 vértice
  • 1.4 Diagonal
  • 1,5 Centro
• 2 Características do paralelepípedo
• 3 tipos
  • 3.1 Cálculo de diagonais
• 4 área
  • 4.1 Área de um ortoedro
  • 4.2 Área de um cubo
  • 4.3 Área de um romboedro
  • 4.4 Área de um rômbico
• 5 Volume de um paralelepípedo
  • 5.1 Paralelepípedo perfeito
• 6 Bibliografia

Elementos do paralelepípedo

Rostos

São cada uma das regiões formadas por paralelogramos que limitam o paralelepípedo. Um paralelepípedo tem seis faces, onde cada face tem quatro faces adjacentes e uma oposta. Além disso, cada face é paralela ao seu oposto.

Bordas

Eles são o lado comum de duas faces. No total, um paralelepípedo tem doze arestas.

Vértice

É o ponto em comum de três faces que são adjacentes umas às outras duas ou duas. Um paralelepípedo tem oito vértices.

Diagonal

Dados dois lados opostos de um paralelepípedo, podemos desenhar um segmento de linha que vai do ápice de uma face ao vértice oposto da outra.

Este segmento é conhecido como a diagonal do paralelepípedo. Cada paralelepípedo tem quatro diagonais.

Downtown

É o ponto em que todas as diagonais se cruzam.

Características do paralelepípedo

Como mencionamos, este corpo geométrico tem doze arestas, seis faces e oito vértices.

Em um paralelepípedo podem ser identificados três conjuntos formados por quatro arestas, que são paralelas entre si. Além disso, as bordas desses conjuntos também preenchem a propriedade de ter o mesmo comprimento.

Outra propriedade que os paralelepípedos possuem é que eles são convexos, isto é, se tomarmos qualquer par de pontos pertencentes ao interior do paralelepípedo, o segmento determinado pelo dito par de pontos também estará dentro do paralelepípedo.

Além disso, os paralelepípedos sendo poliedros convexos atendem ao teorema de Euler para poliedros, o que nos dá uma relação entre o número de faces, o número de arestas e o número de vértices. Essa relação é dada na forma da seguinte equação:

C + V = A + 2

Essa característica é conhecida como característica de Euler.

Onde C é o número de faces, V o número de vértices e A o número de arestas.

Tipos

Podemos classificar paralelepípedos com base em seus rostos, nos seguintes tipos:

Ortopédico

Eles são os paralelepípedos onde seus rostos são formados por seis retângulos. Cada retângulo é perpendicular àqueles que compartilha borda. Eles são os mais comuns em nossa vida diária sendo esta a maneira usual de caixas de sapato e tijolos.

Cubo ou hexaedro regular

Este é um caso particular do anterior, onde cada um dos rostos é um quadrado.

O cubo também faz parte dos corpos geométricos chamados sólidos platônicos. Um sólido platônico é um poliedro convexo, de modo que suas faces e seus ângulos internos são iguais entre si.

Romboedro

É um paralelepípedo com diamantes no rosto. Esses diamantes são todos iguais, pois compartilham bordas.

Romboiedro

Suas seis faces são romboides. Lembre-se de que um romboide é um polígono com quatro lados e quatro ângulos que são iguais a dois ou dois. Os rombóides são os paralelogramos que não são quadrados nem retângulos nem losangos.

Por outro lado, os paralelepípedos oblíquos são aqueles em que pelo menos uma altura não coincide com sua borda. Nesta classificação podemos incluir os romboedros e romboedros.

Cálculo diagonal

Para calcular a diagonal de um ortoedro, podemos usar o Teorema de Pitágoras para R³.

Lembre-se de que um orthoedro tem a característica de que cada lado é perpendicular aos lados que compartilham a borda. A partir desse fato, podemos deduzir que cada aresta é perpendicular àqueles que compartilham o vértice.

Para calcular o comprimento de uma diagonal de um ortoedro procedemos da seguinte forma:

1. Calculamos a diagonal de um dos rostos, que vamos colocar como base. Para isso, usamos o teorema de Pitágoras. Nomeie esta diagonal d_b.

2. Então com d_b podemos formar um novo triângulo retângulo, de tal forma que a hipotenusa do dito triângulo é a diagonal D procurada.

3. Usamos novamente o teorema de Pitágoras e temos que o comprimento da dita diagonal é:

Outra maneira de calcular diagonais de uma maneira mais gráfica é com a soma de vetores livres.

Lembre-se de que dois vetores livres A e B são adicionados colocando a cauda do vetor B com a ponta do vetor A.

O vetor (A + B) é aquele que começa na cauda de A e termina na ponta de B.

Considere um paralelepípedo para o qual queremos calcular uma diagonal.

Nós identificamos bordas com vetores convenientemente orientados.

Em seguida, adicionamos esses vetores e o vetor resultante será a diagonal do paralelepípedo.

Area

A área de um paralelepípedo é dada pela soma de cada uma das áreas de seus rostos.

Se determinarmos um dos lados como a base,

Um_L + 2A_B = Área Total

Onde A_L é igual à soma das áreas de todos os lados adjacentes à base, denominada área lateral e A_B é a área de base.

Dependendo do tipo de paralelepípedo com o qual estamos trabalhando, podemos reescrever a fórmula.

Área de um ortoedro

É dado pela fórmula

A = 2 (ab + bc + ca).

Exemplo 1

Dado o seguinte ortoedro, com lados a = 6 cm, b = 8 cm ec = 10 cm, calcule a área do paralelepípedo e o comprimento de sua diagonal.

Usando a fórmula para a área de um orthoedro, temos que

A = 2 [(6) (8) + (8) (10) + (10) (6)] = 2 [48 + 80 + 60] = 2 [188] = 376 cm².

Observe que, como é um ortoedro, o comprimento de qualquer uma das quatro diagonais é o mesmo.

Usando o teorema de Pitágoras para o espaço, temos que

D = (6² + 8² + 10²)^1/2 = (36 + 64 + 100)^1/2 = (200)^1/2

Área de um cubo

Como cada borda tem o mesmo comprimento, temos a = b e a = c. Substituindo na fórmula anterior, temos

A = 2 (aa + aa + aa) = 2 (3a²) = 6a²

A = 6a²

Exemplo 2

A caixa de uma consola de jogos tem a forma de um cubo. Se quisermos embrulhar esta caixa com papel de presente, quanto papel gastamos sabendo que o comprimento das bordas do cubo é de 45 cm?

Usando a fórmula da área do cubo, obtemos

A = 6 (45 cm)² = 6 (2025 cm²) = 12150 cm²

Área de um romboedro

Como todos os seus rostos são iguais, basta calcular a área de um deles e multiplicá-lo por seis.

Podemos calcular a área de um diamante usando suas diagonais com a seguinte fórmula

Um_R = (Dd) / 2

Usando esta fórmula, segue-se que a área total do romboedro é

Um_T = 6 (Dd) / 2 = 3Dd.

Exemplo 3

As faces do romboedro a seguir são formadas por um losango cujas diagonais são D = 7 cm ed = 4 cm. Sua área será

A = 3 (7 cm) (4 cm) = 84 cm².

Área de um rômbico

Para calcular a área de um rômbico devemos calcular a área dos rombóides que a compõem. Como os paralelepípedos cumprem com a propriedade de que os lados opostos têm a mesma área, podemos associar os lados em três pares.

Desta forma, temos que sua área será

Um_T = 2b₁h₁ + 2b₂h₂ + 2b₃h₃

Onde o b_eu são as bases associadas aos lados e ao_eu sua altura relativa correspondente às referidas bases.

Exemplo 4

Considere o seguinte paralelepípedo,

onde lado A e lado A '(seu lado oposto) tem uma base b = 10 e altura h = 6. A área marcada terá um valor de

Um₁ = 2(10)(6) =120

O B e B 'tem b = 4 e h = 6, então

Um₂ = 2(4)(6) = 48

E C e C 'têm b = 10 e h = 5, então

Um₃ = 2(10)(5) =100

Finalmente, a área do romboedro é

A = 120 + 48 + 100 = 268.

Volume de um paralelepípedo

A fórmula que nos dá o volume de um paralelepípedo é o produto da área de uma de suas faces pela altura correspondente a essa face.

V = A_Ch_C

Dependendo do tipo de paralelepípedo, a referida fórmula pode ser simplificada.

Então, temos por exemplo que o volume de um ortoedro seria dado por

V = abc

Onde a, b e c representam o comprimento das arestas do ortoedro.

E no caso particular do cubo é

V = a³

Exemplo 1

Existem três modelos diferentes para caixas de cookies e você quer saber em qual desses modelos você pode armazenar mais cookies, ou seja, qual das caixas tem mais volume.

O primeiro é um cubo cuja extremidade tem um comprimento de a = 10 cm

Seu volume será V = 1000 cm³

O segundo tem bordas b = 17 cm, c = 5 cm, d = 9 cm

E, portanto, seu volume é V = 765 cm³

E o terceiro tem e = 9 cm, f = 9 cm eg = 13 cm

E seu volume é V = 1053 cm³

Portanto, a caixa com o maior volume é a terceira.

Outro método para obter o volume de um paralelepípedo é recorrer à álgebra vetorial. Em particular, o produto escalar triplo.

Uma das interpretações geométricas que tem o produto escalar triplo é o volume do paralelepípedo, cujas arestas são três vetores que compartilham o mesmo vértice como ponto de partida.

Desta forma, se temos um paralelepípedo e queremos saber qual é o seu volume, é o suficiente para representá-lo em um sistema de coordenadas em R³ combinando um de seus vértices com a origem.

Em seguida, representamos as arestas que coincidem na origem com vetores, como mostrado na figura.

E assim temos que o volume do dito paralelepípedo é dado por

V = | AxB ∙ C |

Ou equivalentemente, o volume é o determinante da matriz 3 × 3, formado pelos componentes dos vetores de borda.

Exemplo 2

Representando o próximo paralelepípedo em R³ podemos ver que os vetores que determinam são os seguintes

u = (-1, -3.0), v = (5, 0, 0) e w = (-0,25, -4, 4)

Usando o produto tríplice escalar que temos

V = | (uxv) ∙ w |

uxv = (-1, -3.0) x (5, 0, 0) = (0,0, - 15)

(uxv) ∙ w = (0,0, - 15) ∙ (-0,25, -4, 4) = 0 + 0 + 4 (- 15) = - 60

A partir disso, concluímos que V = 60

Agora considere o seguinte paralelepípedo em R3 cujas arestas são determinadas pelos vetores

A = (2, 5, 0), B = (6, 1, 0) e C = (3, 4, 4)

Usando determinantes nos dá

Então nós temos que o volume do dito paralelepípedo é 112.

Ambos são formas equivalentes de calcular o volume.

Paralelepípedo perfeito

É conhecido como tijolo de Euler (ou bloco de Euler) para um ortoedro que preenche a propriedade de que tanto o comprimento de suas arestas quanto o comprimento das diagonais de cada uma de suas faces são inteiros.

Embora Euler não tenha sido o primeiro cientista a estudar os ortoedros que preenchem essa propriedade, ele encontrou resultados interessantes sobre eles.

O menor tijolo de Euler foi descoberto por Paul Halcke e os comprimentos de suas bordas são a = 44, b = 117 ec = 240.

Um problema em aberto na teoria dos números é o seguinte

Existem ortoedros perfeitos?

Atualmente, esta questão não pode ser respondida, uma vez que não foi possível provar que esses corpos não existem, mas nenhum deles foi encontrado.

O que foi mostrado até agora é que existem paralelepípedos perfeitos. O primeiro a ser descoberto tem o comprimento de seus valores de aresta 103, 106 e 271.

Bibliografia

1. Guy, R. (1981). Problemas não resolvidos na teoria dos números. Springer
2. Landaverde, F. d. (1997). Geometria Progresso
3. Leithold, L. (1992). O CÁLCULO COM GEOMETRIA ANALÍTICA. HARLA, S.A.
4. Rendon, A. (2004). Desenho técnico: livro de atividades 3 2º Bacharelado. Tebar
5. Resnick, R., Halliday, D. e Krane, K. (2001). Física Vol. 1. México: continental.