Técnicas e Exemplos de Contagem de Princípios Multiplicativos



O princípio multiplicativo é uma técnica usada para resolver problemas de contagem para encontrar a solução sem que seja necessário listar seus elementos. É também conhecido como o princípio fundamental da análise combinatória; baseia-se na multiplicação sucessiva para determinar a maneira pela qual um evento pode ocorrer.

Este princípio estabelece que, se uma decisão (d1) pode ser tomada de n maneiras e outra decisão (d2) pode ser tomado de várias maneiras, o número total de maneiras pelas quais as decisões podem ser tomadas1 e d2 será igual a multiplicar de n * m. De acordo com o princípio, cada decisão é tomada uma após a outra: número de maneiras = N1 * N2… * Nx maneiras

Índice

  • 1 exemplos
    • 1.1 Exemplo 1
    • 1.2 Exemplo 2
  • 2 Técnicas de contagem
    • 2.1 Princípio da adição
    • 2.2 Princípio da permutação
    • 2.3 Princípio da combinação
  • 3 exercícios resolvidos
    • 3.1 Exercício 1
    • 3.2 Exercício 2
  • 4 referências

Exemplos

Exemplo 1

Paula planeja ir ao cinema com as amigas e, para escolher as roupas que vai usar, separo 3 blusas e 2 saias. De quantas maneiras Paula pode se vestir?

Solução

Neste caso, Paula deve tomar duas decisões:

d1 = Escolha entre 3 blusas = n

d2 = Escolha entre 2 saias = m

Dessa forma, Paula tem n * m decisões de fazer ou diferentes formas de se vestir.

n * m = 3* 2 = 6 decisões.

O princípio multiplicativo vem da técnica de diagramas de árvore, que é um diagrama que relaciona todos os resultados possíveis, de modo que cada um pode ocorrer um número finito de vezes.

Exemplo 2

Mario estava com muita sede, então ele foi à padaria para comprar um suco. Luis cuida dele e diz que ele tem dois tamanhos: grande e pequeno; e quatro sabores: maçã, laranja, limão e uva. Quantas maneiras Mario pode escolher o suco?

Solução

No diagrama pode-se observar que Mario tem 8 maneiras diferentes de escolher o suco e que, como no princípio multiplicativo, esse resultado é obtido pela multiplicação de n*m. A única diferença é que através deste diagrama você pode saber como são as formas em que Mario escolhe o suco.

Por outro lado, quando o número de resultados possíveis é muito grande, é mais prático usar o princípio multiplicativo.

Técnicas de contagem

As técnicas de contagem são métodos usados ​​para fazer uma contagem direta e, assim, saber o número de arranjos possíveis que os elementos de um determinado conjunto podem ter. Essas técnicas são baseadas em vários princípios:

Princípio da adição

Este princípio estabelece que, se dois eventos m e n não puderem ocorrer ao mesmo tempo, o número de maneiras pelas quais o primeiro ou segundo evento pode ocorrer será a soma de m + n:

Número de formas = m + n ... + x formas diferentes.

Exemplo

Antonio quer fazer uma viagem, mas não decide qual destino; na South Tourism Agency, eles oferecem uma promoção para viajar para Nova York ou Las Vegas, enquanto a East Tourism Agency recomenda que você viaje para a França, Itália ou Espanha. Quantas alternativas de viagem diferentes Antonio oferece a você?

Solução

Com a Agência de Turismo do Sul, Antonio tem 2 alternativas (Nova York ou Las Vegas), enquanto que com a Agência de Turismo do Leste tem 3 opções (França, Itália ou Espanha). O número de alternativas diferentes é:

Número de alternativas = m + n = 2 + 3 = 5 alternativas.

Princípio da permutação

Trata-se de ordenar especificamente todos ou alguns dos elementos que formam um conjunto, para facilitar a contagem de todos os arranjos possíveis que podem ser feitos com os elementos.

O número de permutações de n elementos diferentes, tomadas todas de uma vez, é representado como:

nPn = n!

Exemplo

Quatro amigos querem tirar uma foto e querem saber quantas formas diferentes podem ser encomendadas.

Solução

Você quer conhecer o conjunto de todas as maneiras possíveis em que as 4 pessoas podem ser colocadas para tirar a fotografia. Então você tem que:

4P4 = 4! = 4*3*2*1 = 24 formulários diferentes.

Se o número de permutações de n elementos disponíveis é obtido por partes de um conjunto que é formado por elementos r, ele é representado como:

nPr = n! N (n - r)!

Exemplo

Em uma sala de aula você tem 10 lugares. Se 4 alunos assistem à aula, de quantas maneiras diferentes os alunos podem ocupar as vagas?

Solução

O número total do conjunto de cadeiras é 10, e destas apenas 4 serão usadas, aplicando-se a fórmula dada para determinar o número de permutações:

nPr = n! N (n - r)!

10P4 = 10! ÷ (10 - 4)!

10P4 = 10! ÷ 6!

10P4= 10* 9*8*7*6*5*4*3*2*1 ÷ 6*5*4*3*2*1 = 5040 maneiras de preencher as posições.

Há casos em que alguns dos elementos disponíveis de um conjunto são repetidos (são os mesmos). Para calcular o número de arranjos que tomam todos os elementos de uma só vez, a seguinte fórmula é usada:

nPr = n! ÷ n1!* n2! ... nr!

Exemplo

Quantas palavras diferentes de quatro letras podem ser formadas a partir da palavra "lobo"?

Solução

Neste caso, temos 4 elementos (letras) dos quais dois são exatamente iguais. Aplicando a fórmula dada, sabemos quantas palavras diferentes são:

nPr = n! ÷ n1!* n2! ... nr!

4P2, 1,1 = 4! ÷ 2!*1!*1!

4P2, 1, 1 = (4*3*2*1) ÷ (2*1)*1*1

4P2, 1, 1 = 24 ÷ 2 = 12 palavras diferentes.

Princípio da combinação

Trata-se de corrigir todos ou alguns dos elementos que formam um conjunto sem uma ordem específica. Por exemplo, se você tiver um array XYZ, ele será idêntico aos arrays ZXY, YZX, ZYX, entre outros; Isso porque, apesar de não estarem na mesma ordem, os elementos de cada arranjo são os mesmos.

Quando alguns elementos (r) do conjunto (n) são obtidos, o princípio da combinação é dado pela seguinte fórmula:

nCr = n! N (n - r)! R!

Exemplo

Em uma loja eles vendem 5 tipos diferentes de chocolate. Quantas maneiras diferentes você pode escolher 4 chocolates?

Solução

Neste caso você tem que escolher 4 chocolates dos 5 tipos vendidos na loja. A ordem em que são escolhidos não importa e, além disso, um tipo de chocolate pode ser escolhido mais de duas vezes. Aplicando a fórmula, você precisa:

nCr = n! N (n - r)! R!

5C4 = 5! ÷ (5 - 4)! 4!

5C4 = 5! ÷ (1)!4!

5C4 = 5*4*3*2*1 ÷ 4*3*2*1

5C4 = 120 ÷ 24 = 5 maneiras diferentes de escolher 4 chocolates.

Quando todos os elementos (r) do conjunto (n) são obtidos, o princípio da combinação é dado pela seguinte fórmula:

nCn = n!

Exercícios resolvidos

Exercício 1

Você tem um time de baseball com 14 membros. De quantas maneiras 5 posições podem ser atribuídas para um jogo?

Solução

O conjunto é composto por 14 elementos e você deseja atribuir 5 posições específicas; isto é, essa ordem é importante. A fórmula de permutação é aplicada onde n elementos disponíveis são tomados por partes de um conjunto que é formado por r.

nPr = n! N (n - r)!

Onde n = 14 er = 5. Ele é substituído na fórmula:

14P5 = 14! ÷ (14 - 5)!

14P5 = 14! ÷ (9)!

14P5 = 240 240 maneiras de atribuir as 9 posições do jogo.

Exercício 2

Se uma família de 9 membros fizer uma viagem e comprar seus ingressos com assentos consecutivos, quantas maneiras diferentes eles podem sentar?

Solução

É composto por 9 elementos que ocuparão 9 lugares consecutivos.

P9 = 9!

P9 = 9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 362 880 maneiras diferentes de se sentar.

Referências

  1. Hopkins, B. (2009). Recursos para o Ensino de Matemática Discreta: Projetos de Sala de Aula, Módulos de História e Artigos.
  2. Johnsonbaugh, R. (2005). Matemática Discreta Educação Pearson,.
  3. Lutfiyya, L. A. (2012). Solucionador de problemas matemáticos finito e discreto. Editores da Associação de Pesquisa e Educação.
  4. Padró, F. C. (2001). Matemática Discreta Politec. da Catalunha.
  5. Steiner, E. (2005). Matemática para ciências aplicadas. Reverte