Explicação de produtos notáveis ​​e exercícios resolvidos

O produtos notáveis são operações algébricas, onde se expressam multiplicações de polinômios, que não precisam ser resolvidas tradicionalmente, mas com a ajuda de certas regras você pode encontrar os resultados delas.

Os polinômios são multiplicados por sim, portanto, podem ter um grande número de termos e variáveis. Para tornar o processo mais curto, são usadas as regras dos produtos notáveis, que permitem que as multiplicações sejam feitas sem ter que passar por prazo.

Índice

• 1 Produtos e exemplos notáveis
  • 1.1 Binomial ao quadrado
  • 1.2 Produto de binômios conjugados
  • 1.3 Produto de dois binômios com um termo comum
  • 1.4 Polinômio ao quadrado
  • 1.5 Binomial para o cubo
  • 1.6 Cubo de um trinômio
• 2 Exercícios resolvidos para produtos notáveis
  • 2.1 Exercício 1
  • 2.2 Exercício 2
• 3 referências

Produtos e exemplos notáveis

Cada produto notável é uma fórmula que resulta de uma fatoração, composta de polinômios de vários termos, como binômios ou trinômios, chamados fatores.

Os fatores são a base de um poder e têm um expoente. Quando os fatores se multiplicam, os expoentes devem ser adicionados.

Existem várias fórmulas de produtos notáveis, algumas são mais usadas que outras, dependendo dos polinômios, e são as seguintes:

Binomial ao quadrado

É a multiplicação de um binômio por si mesmo, expresso em forma de poder, onde os termos são adicionados ou subtraídos:

a. Binomial de soma ao quadrado: é igual ao quadrado do primeiro termo, mais o dobro do produto dos termos, mais o quadrado do segundo termo. É expresso da seguinte forma:

(a + b)² = (a + b) _* (a + b)

A figura a seguir mostra como o produto é desenvolvido de acordo com a regra acima mencionada. O resultado é chamado de trinômio de um quadrado perfeito.

Exemplo 1

(x + 5) ² = x² + 2 (x * 5) + 5²

(x + 5) ² = x² + 2 (5x) + 25

(x + 5) ² = x² + 10x + 25.

Exemplo 2

(4a + 2b) = (4a)² + 2 (4a _* 2b) + (2b)²

(4a + 2b) = 8a² + 2 (8ab) + 4b²

(4a + 2b) = 8a² + 16 ab + 4b².

b. Binomial de uma subtração ao quadrado: a mesma regra se aplica ao binômio de uma soma, somente que, nesse caso, o segundo termo é negativo. Sua fórmula é a seguinte:

(a - b)² = [(a) + (- b)]²

(a - b)² = a² + 2a _* (-b) + (-b)²

(a - b)²   = a² - 2ab + b².

Exemplo 1

(2x - 6)² = (2x)² - 2 (2x _* 6) + 6²

(2x - 6)²  = 4x² - 2 (12x) + 36

(2x - 6)² = 4x² - 24x + 36

Produto de binômios conjugados

Dois binômios são conjugados quando os segundos termos de cada um são de signos diferentes, isto é, o do primeiro é positivo e o do segundo negativo, ou vice-versa. Resolva levantando cada quadrado monométrico e subtraia. Sua fórmula é a seguinte:

(a + b) _* (a - b)

Na figura a seguir é desenvolvido o produto de dois binômios conjugados, onde se observa que o resultado é uma diferença de quadrados.

Exemplo 1

(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a² + (-6ab) + (6 ab) + (-9b)²)

(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a² 9b².

Produto de dois binômios com um termo comum

É um dos produtos mais complexos e pouco utilizados, porque é uma multiplicação de dois binômios que têm um termo comum. A regra indica o seguinte:

• O quadrado do termo comum.
• Além disso, adicione os termos que não são comuns e, em seguida, multiplique-os pelo termo comum.
• Mais a soma da multiplicação de termos que não são comuns.

Está representado na fórmula: (x + a) _* (x + b) e é desenvolvido como mostrado na imagem. O resultado é um trinômio quadrado não perfeito.

Exemplo 1

(x + 6) _* (x + 9) = x² + (6 + 9) _* x + (6 _* 9)

(x + 6) _* (x + 9) = x² + 15x + 54

Existe a possibilidade de que o segundo termo (o termo diferente) seja negativo e sua fórmula seja a seguinte: (x + a) _* (x - b).

Exemplo 2

(7x + 4) _* (7x - 2) = (7x _* 7x) + (4 - 2)_* 7x + (4 _* -2)

(7x + 4) _* (7x - 2) = 49x² + (2)_* 7x - 8

(7x + 4) _* (7x - 2) = 49x² + 14x - 8

Também pode ser o caso de ambos os termos diferentes serem negativos. Sua fórmula será: (x - a) _* (x - b).

Exemplo 3

(3b - 6) _* (3b - 5) = (3b _* 3b) + (-6 - 5)_* (3b) + (-6 _* -5)

(3b - 6) _* (3b - 5) = 9b² + (-11) _* (3b) + (30)

(3b - 6) _* (3b - 5) = 9b² - 33b + 30.

Polinômio quadrado

Neste caso, existem mais de dois termos e para desenvolvê-lo, cada um é quadrado e adicionado junto com o dobro da multiplicação de um termo com o outro; sua fórmula é: (a + b + c)² e o resultado da operação é um trinômio ao quadrado.

Exemplo 1

(3x + 2y + 4z)² = (3x)² + (2a)² + (4z)² + 2 (6xy + 12xz + 8yz)

(3x + 2y + 4z)² = 9x² + 4a² + 16z² + 12xy + 24xz + 16yz

Balde binomial

É um produto complexo notável.Para desenvolvê-lo, multiplique o binômio por seu quadrado, da seguinte maneira:

a. Para o binômio para o cubo de uma soma:

• O cubo do primeiro termo, mais o triplo do quadrado do primeiro termo pelo segundo.
• Mais o triplo do primeiro termo, pelo segundo ao quadrado.
• Mais o cubo do segundo termo.

(a + b)³ = (a + b) _* (a + b)²

(a + b)³ = (a + b) _* (um² + 2ab + b²)

(a + b)³ = a³ + 2a²b + ab² + ba² + 2ab² + b³

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

Exemplo 1

(a + 3)³ = a³ + 3 (a)²_*(3) + 3 (a)_*(3)² + (3)³

(a + 3)³ = a³ + 3 (a)²_*(3) + 3 (a)_*(9) + 27

(a + 3)³ = a³ + 9 a² + 27a + 27.

b. Para o binômio para o cubo de uma subtração:

• O cubo do primeiro termo, menos o triplo do quadrado do primeiro termo pelo segundo.
• Mais o triplo do primeiro termo, pelo segundo ao quadrado.
• Exceto o cubo do segundo termo.

(a - b)³ = (a - b) _* (a - b)²

(a - b)³ = (a - b) _* (um² - 2ab + b²)

(a - b)³ = a³ - 2a²b + ab² - ba² + 2ab² - b³

(a - b)³ = um³ - 3a²b + 3ab² - b³.

Exemplo 2

(b - 5)³ = b³ + 3 (b)²_*(-5) + 3 (b)_*(-5)² + (-5)³

(b - 5)³ = b³ + 3 (b)²_*(-5) + 3 (b)_*(25) -125

(b - 5)³ = b³ - 15b² + 75b - 125

Balde de um trinômio

Desenvolve-se multiplicando-o pelo seu quadrado. É um produto notável muito extenso, pois há 3 termos levantados para o cubo, mais três vezes cada termo ao quadrado, multiplicado por cada um dos termos, mais seis vezes o produto dos três termos. Visto de uma maneira melhor:

(a + b + c)³ = (a + b + c) _* (a + b + c)²

(a + b + c)³ = (a + b + c) _* (um² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc)

(a + b + c)³ = a³ + b³ + c³ + 3a²b + 3ab² + 3a²c + 3ac² + 3b²c + 3bc² + 6abc

Exemplo 1

Exercícios resolvidos de produtos notáveis

Exercício 1

Desenvolva o seguinte binômio para o cubo: (4x - 6)³.

Solução

Lembrando que um binômio para o cubo é igual ao primeiro termo gerado para o cubo, menos o triplo do quadrado do primeiro termo pelo segundo; mais o triplo do primeiro termo, pelo segundo ao quadrado, menos o cubo do segundo termo.

(4x - 6)³ = (4x)³ - 3 (4x)²(6) + 3 (4x) _* (6)² - (6)²

(4x - 6)³ = 64x³ - 3 (16x²) (6) + 3 (4x)_* (36) - 36

(4x - 6)³ = 64x³ - 288x² + 432x - 36

Exercício 2

Desenvolva o seguinte binômio: (x + 3) (x + 8).

Solução

Existe um binômio onde existe um termo comum, que é x e o segundo termo é positivo. Para desenvolvê-lo você só tem que quadrar o termo comum, mais a soma dos termos que não são comuns (3 e 8) e depois multiplicá-los pelo termo comum, mais a soma da multiplicação de termos que não são comuns.

(x + 3) (x + 8) = x² + (3 + 8) x + (3_*8)

(x + 3) (x + 8) = x² + 11x + 24

Referências

1. Angel, A. R. (2007). Álgebra Elementar Educação Pearson,.
2. Arthur Goodman, L. H. (1996). Álgebra e trigonometria com geometria analítica. Educação Pearson.
3. Das, S. (s.f.). Maths Plus 8. Reino Unido: Ratna Sagar.
4. Jerome E. Kaufmann, K. L. (2011). Álgebra Elementar e Intermediária: Uma Abordagem Combinada. Flórida: Cengage Learning.
5. Pérez, C. D. (2010). Educação Pearson.