Qual é o fator comum por agrupamento? 6 exemplos

O fator comum por agrupamento é uma maneira de fatorar, através da qual os termos de um polinômio são "agrupados" para criar uma forma mais simplificada do polinômio.

Factoring é um método matemático usado para escrever polinômios como se fossem o produto de dois ou mais polinômios. Este processo é o inverso da multiplicação de polinômios.

Um exemplo de fatoração por agrupamento é 2 × 2 + 8x + 3x + 12 é igual à forma fatorada (2x + 3) (x + 4).

Na fatoração pelo agrupamento dos fatores comuns entre os termos de um polinômio são procurados e, posteriormente, a propriedade distributiva é aplicada para simplificar o polinômio; é por isso que, às vezes, é chamado de fator comum por agrupamento.

Etapas para fatorar por agrupamento

Etapa n ° 1

Você deve ter certeza de que o polinômio tem quatro termos; caso seja um trinômio (com três termos), ele deve ser transformado em um polinômio de quatro termos.

Etapa n ° 2

Determine se os quatro termos possuem um fator comum. Se assim for, o fator comum deve ser extraído e o polinômio reescrito.

Por exemplo: 5 × 2 + 10 x + 25x + 5

Fator comum: 5

5 (x2 + 2x + 5x + 1)

Etapa n ° 3

Caso o fator comum dos dois primeiros termos seja diferente do fator comum dos dois últimos termos, os termos com fatores comuns devem ser agrupados e o polinômio reescrito.

Por exemplo: 5 × 2 + 10 x + 2x + 4

Fator comum em 5 × 2 + 10 x: 5x

Fator comum em 2x + 4: 2

5x (x + 2) + 2 (x + 2)

Etapa n ° 4

Se os fatores resultantes forem idênticos, o polinômio, incluindo o fator comum, será reescrito uma vez.

Por exemplo: 5 × 2 + 10 x + 2x + 4

5x (x + 2) + 2 (x + 2)

(5x + 2) (x + 2)

Exemplos de fatoração por agrupamento

Exemplo n ° 1: 6 × 2 + 3x + 20x + 10

Este é um polinômio que tem quatro termos, entre os quais não há um fator comum. No entanto, os termos um e dois têm 3x como um fator comum; enquanto os termos três e quatro têm 10 como um fator comum.

Ao extrair os fatores comuns de cada par de termos, você pode reescrever o polinômio da seguinte maneira:

3x (2x + 1) + 10 (2x + 1)

Agora, pode ser visto que esses dois termos têm um fator comum: (2x + 1); Isso significa que você pode extrair esse fator e reescrever o polinômio novamente:

(3x + 10) (2x + 1)

Exemplo n ° 2: x2 + 3x + 2x + 6

Neste exemplo, como no anterior, os quatro termos não possuem um fator comum. No entanto, os dois primeiros termos têm x como um fator comum, enquanto nos dois últimos o fator comum é 2.

Nesse sentido, você pode reescrever o polinômio da seguinte maneira:

x (x + 3) + 2 (x + 3)

Agora, extraímos o fator comum (x + 3), o resultado será o seguinte:

(x + 2) (x + 3)

Exemplo n ° 3: 2y3 + y2 + 8y2 + 4y

Nesse caso, o fator comum entre os dois primeiros termos é y2, enquanto o fator comum nos dois últimos é de 4y.

O polinômio reescrito seria o seguinte:

y2 (2y + 1) + 4y (2y + 1)

Agora, extraímos o fator (2y + 1) e o resultado é o seguinte:

(y2 + 4y) (2y + 1)

Exemplo n ° 4: 2 × 2 + 17x + 30

Quando o polinômio não possui quatro termos, mas é um trinômio (que possui três termos), é possível fatorar por agrupamento.

No entanto, é necessário dividir o termo do meio para que você possa ter quatro elementos.

No trinômio 2 × 2 + 17x + 30, o termo 17x deve ser dividido em dois.

Nos trinômios que seguem a forma ax2 + bx + c, a regra é encontrar dois números cujo produto é xc e cuja soma é igual a b.

Isso significa que, neste exemplo, precisamos de um número cujo produto seja 2 x 30 = 60 e que seja total 17. A resposta para isso é o exercício 5 e 12.

Em seguida, reescrevemos o trinômio na forma de um polinômio:

2 × 2 + 12x + 5x + 30

Os dois primeiros termos têm x como um fator comum, enquanto o fator comum nos dois últimos é 6. O polinômio resultante seria:

x (2x + 5) + 6 (2x +5)

Finalmente, extraímos o fator comum nesses dois termos; O resultado é o seguinte:

(x + 6) (2x + 5)

Exemplo n ° 5: 4 × 2 + 13x + 9

Neste exemplo, você também precisa dividir o termo do meio para formar um polinômio de quatro termos.

Neste caso, precisamos de dois números cujo produto é 4 x 9 = 36 e cuja soma é igual a 13. Neste sentido, os números requeridos são 4 e 9.

Agora, o trinômio é reescrito na forma de um polinômio:

4 × 2 + 4x + 9x + 9

Nos dois primeiros termos, o fator comum é 4x, enquanto no segundo, o fator comum é 9.

4x (x + 1) + 9 (x + 1)

Depois de extrairmos o fator comum (x + 1), o resultado será o seguinte:

(4x + 9) (x +1)

Exemplo n ° 6: 3 × 3 - 6x + 15x - 30

No polinômio proposto, todos os termos possuem um fator comum: 3. Então, o polinômio é reescrito da seguinte forma:

3 (x3 - 2x + 5x -10)

Agora, vamos agrupar os termos entre parênteses e determinar o fator comum entre eles. Nos dois primeiros, o fator comum é x, enquanto nos dois últimos é 5:

3 (x2 (x - 2) + 5 (x - 2))

Finalmente, o fator comum (x - 2) é extraído; O resultado é o seguinte:

3 (x2 + 5) (x - 2)

Referências

1. Factoring por agrupamento. Retirado em 25 de maio de 2017, de khanacademy.org.
2. Factoring: Agrupamento. Obtido em 25 de maio de 2017, a partir de mesacc.edu.
3. Factoring agrupando exemplos. Retirado em 25 de maio de 2017, de shmoop.com.
4. Factoring por agrupamento. Retirado em 25 de maio de 2017, de basic-mathematics.com.
5. Factoring por agrupamento. Obtido em 25 de maio de 2017, em https://www.shmoop.com
6. Introdução ao agrupamento. Retirado em 25 de maio de 2017, de khanacademy.com.
7. Pratique problemas. Obtido em 25 de maio de 2017, a partir de mesacc.edu.