O que são primos relativos? Características e Exemplos

Se chama primos parentes (coprimos ou primos em relação um ao outro) a qualquer par de inteiros que não tenham divisor em comum, exceto 1.

Em outras palavras, dois números inteiros são primos relativos se em suas decomposições em números primos, eles não têm nenhum fator em comum.

Por exemplo, se 4 e 25 forem escolhidos, as decomposições do fator primo de cada um são 2² e 5², respectivamente. Como é apreciado, estes não possuem nenhum fator comum, portanto 4 e 25 são primos relativos.

Por outro lado, se o 6 e o ​​24 são escolhidos, ao realizar suas decomposições em fatores primos, obtemos 6 = 2 * 3 e 24 = 2³ * 3.

Como você pode ver, essas duas últimas expressões têm pelo menos um fator em comum, portanto, não são primos relativos.

Primos Relativos

Uma coisa a ser cuidadosa é que dizer que um par de inteiros são primos relativos é que isso não implica que qualquer um deles seja um número primo.

Por outro lado, a definição acima pode ser resumida da seguinte forma: dois inteiros "a" e "b" são primos relativos se, e somente se, o maior divisor comum destes é 1, ou seja, mcd ( a, b) = 1.

Duas conclusões imediatas dessa definição são:

-Se "a" (ou "b") é um número primo, então mcd (a, b) = 1.

-Se "a" e "b" são números primos, então mcd (a, b) = 1.

Isto é, se pelo menos um dos números escolhidos for um número primo, então diretamente o par de números são primos relativos.

Outras características

Outros resultados que são usados ​​para determinar se dois números são primos relativos são:

-Se dois inteiros são consecutivos, então estes são primos relativos.

-Dois números naturais "a" e "b" são primos relativos se, e somente se, os números "(2 ^ a) -1" e "(2 ^ b) -1" são primos relativos.

-Dois inteiros "a" e "b" são primos relativos se, e somente se, ao traçar o ponto (a, b) no plano cartesiano, e construir a linha que passa pela origem (0,0) e ( a, b), isso não contém pontos com coordenadas inteiras.

Exemplos

1.- Considere os inteiros 5 e 12. As decomposições dos fatores primos de ambos os números são: 5 e 2² * 3, respectivamente. Em conclusão, o mdc (5,12) = 1, portanto, 5 e 12 são primos relativos.

2.- Deixe os números -4 e 6. Então -4 = -2² e 6 = 2 * 3, de modo que o LCD (-4,6) = 2 ≠ 1. Em conclusão, 4 e 6 não são primos relativos.

Se procedermos ao gráfico da linha que passa pelos pares ordenados (-4,6) e (0,0), e para determinar a equação dessa linha, podemos verificar que ela passa pelo ponto (-2,3).

Mais uma vez, conclui-se que -4 e 6 não são primos relativos.

3.- Os números 7 e 44 são primos relativos e podem ser rapidamente concluídos graças ao acima, já que 7 é um número primo.

4.- Considere os números 345 e 346. Sendo dois números consecutivos verifica-se que mcd (345,346) = 1, portanto 345 e 346 são primos relativos.

5.- Se os números 147 e 74 são considerados, então estes são primos relativos, desde 147 = 3 * 7² e 74 = 2 * 37, portanto o mdc (147,74) = 1.

6.- Os números 4 e 9 são primos relativos. Para demonstrar isso, a segunda caracterização mencionada acima pode ser usada. Com efeito, 2 ^ 4 -1 = 16-1 = 15 e 2 ^ 9-1 = 512-1 = 511.

Os números obtidos são 15 e 511. As decomposições dos fatores primos destes números são 3 * 5 e 7 * 73 respectivamente, de modo que mcd (15,511) = 1.

Como você pode ver, usar a segunda caracterização é uma tarefa mais longa e trabalhosa do que a verificação direta.

7.- Considere os números -22 e -27. Então, esses números podem ser reescritos da seguinte forma: -22 = -2 * 11 e -27 = -3³. Portanto, o mdc (-22, -27) = 1, então -22 e -27 são primos relativos.

Referências

1. Barrantes, H., Diaz, P., Murillo, M., & Soto, A. (1998). Introdução à Teoria dos Números. EUNED.
2. Bourdon, P. L. (1843). Elementos da aritmética Livraria dos senhores viúvas e filhos de Calleja.
3. Castañeda, S. (2016). Curso básico em teoria dos números. Universidade do Norte.
4. Guevara, M. H. (s.f.). O conjunto dos números inteiros. EUNED.
5. Instituto Superior de Formação de Professores (Espanha), J. L. (2004). Números, formulários e volumes no ambiente da criança. Ministério da Educação.
6. Palmer, C. I., & Bibb, S.F. (1979). Matemática prática: aritmética, álgebra, geometria, trigonometria e régua de cálculo (reprint ed.). Reverte
7. Rock, N. M. (2006). Álgebra eu é fácil! Tão fácil Team Rock Press.
8. Smith, S. A. (2000). Álgebra Educação Pearson.
9. Szecsei, D. (2006). Matemática Básica e Pré-Álgebra (ilustrado ed.). Carreira Press.
10. Toral, C. e Preciado, M. (1985). Curso de Matemática 2a. Editorial de progresso.
11. Wagner, G., Caicedo, A., & Colorado, H. (2010). Princípios Básicos da Aritmética ELIZCOM S.A.S.