Raciocínio Algébrico (com Exercícios Resolvidos)

O raciocínio algébrico consiste essencialmente em comunicar um argumento matemático através de uma linguagem especial, o que o torna mais rigoroso e geral, fazendo uso de variáveis ​​algébricas e operações definidas entre si. Uma característica da matemática é o rigor lógico e a tendência abstrata usada em seus argumentos.

Para isso, é necessário conhecer a "gramática" correta que deve ser usada neste texto. Além disso, o raciocínio algébrico evita ambiguidades na justificação de um argumento matemático, o que é essencial para demonstrar qualquer resultado em matemática.

Índice

• 1 Variáveis ​​algébricas
• 2 expressões algébricas
  • 2.1 Exemplos
• 3 exercícios resolvidos
  • 3.1 Primeiro exercício
  • 3.2 Segundo exercício
  • 3.3 Terceiro exercício
• 4 referências

Variáveis ​​algébricas

Uma variável algébrica é simplesmente uma variável (uma letra ou símbolo) que representa um determinado objeto matemático.

Por exemplo, as letras x, y, z são geralmente usadas para representar os números que satisfazem uma determinada equação; as letras p, q r, para representar fórmulas proposicionais (ou seus respectivos capitais para representar proposições específicas); e as letras A, B, X, etc., para representar conjuntos.

O termo "variável" enfatiza que o objeto em questão não é fixo, mas varia. Tal é o caso de uma equação, na qual as variáveis ​​são usadas para determinar as soluções que, em princípio, são desconhecidas.

Em termos gerais, uma variável algébrica pode ser considerada como uma letra que representa algum objeto, seja ele fixo ou não.

Assim como as variáveis ​​algébricas são usadas para representar objetos matemáticos, também podemos considerar símbolos para representar operações matemáticas.

Por exemplo, o símbolo "+" representa a operação "soma". Outros exemplos são as diferentes notações simbólicas do conectivo lógico no caso de proposições e conjuntos.

Expressões algébricas

Uma expressão algébrica é uma combinação de variáveis ​​algébricas por meio de operações previamente definidas. Exemplos disso são as operações básicas de adição, subtração, multiplicação e divisão entre números, ou conectivo lógico em proposições e conjuntos.

O raciocínio algébrico é responsável por expressar um raciocínio ou argumento matemático por meio de expressões algébricas.

Essa forma de expressão ajuda a simplificar e abreviar a escrita, pois faz uso de notações simbólicas e nos permite entender melhor o raciocínio, apresentando-o de maneira mais clara e precisa.

Exemplos

Vamos ver alguns exemplos que mostram como o raciocínio algébrico é usado. Muito regularmente é usado para resolver problemas de lógica e raciocínio, como veremos em breve.

Considere a bem conhecida proposição matemática "a soma de dois números é comutativa". Vamos ver como podemos expressar essa proposição algebricamente: dados dois números "a" e "b", o que esta proposição significa é que a + b = b + a.

O raciocínio usado para interpretar a proposição inicial e expressá-la em termos algébricos é um raciocínio algébrico.

Poderíamos também mencionar a famosa expressão "a ordem dos fatores não altera o produto", que se refere ao fato de que o produto de dois números também é comutativo e algebricamente expresso como axb = bxa.

Similarmente, as propriedades associativas e distributivas para a soma e o produto podem ser expressas (e de fato são expressas) algebricamente, nas quais subtração e divisão são incluídas.

Esse tipo de raciocínio abrange uma linguagem muito ampla e é usada em contextos múltiplos e diferentes. Dependendo de cada caso, nestes contextos devemos reconhecer padrões, interpretar afirmações e generalizar e formalizar sua expressão em termos algébricos, fornecendo um raciocínio válido e seqüencial.

Exercícios resolvidos

A seguir estão alguns problemas lógicos, que serão resolvidos usando um raciocínio algébrico:

Primeiro exercício

Qual é o número que, ao remover a metade, é igual a um?

Solução

Para resolver este tipo de exercícios, é muito útil representar o valor que queremos determinar por meio de uma variável. Neste caso, queremos encontrar um número que, ao remover metade, resulte no número um. Denote por x o número procurado.

"Remover metade" de um número implica dividi-lo por 2. Assim, o acima pode ser expresso algebricamente como x / 2 = 1, e o problema é reduzido para resolver uma equação, que neste caso é linear e muito simples de resolver. Clearing x obtemos que a solução é x = 2.

Em conclusão, 2 é o número que, removendo metade, é igual a 1.

Segundo exercício

Quantos minutos faltam à meia-noite se 10 minutos faltassem 5/3 do que está faltando agora?

Solução

Denote por "z" o número de minutos restantes até a meia-noite (qualquer outra letra pode ser usada). Isso quer dizer que agora há "z" minutos à meia-noite.Isto implica que 10 minutos faltavam "z + 10" minutos para a meia-noite, e isso corresponde a 5/3 do que está faltando agora; isto é, (5/3) z.

Então, o problema é reduzido para resolver a equação z + 10 = (5/3) z. Multiplicando ambos os lados da igualdade por 3, a equação 3z + 30 = 5z é obtida.

Agora, agrupando a variável "z" em um lado da igualdade, obtemos que 2z = 15, o que implica que z = 15.

Portanto, 15 minutos permanecem até a meia-noite.

Terceiro exercício

Em uma tribo que pratica escambo, existem essas equivalências:

- Uma lança e um colar são trocados por um escudo.

Uma lança é equivalente a uma faca e um colar.

- Dois escudos são trocados por três unidades de facas.

Quantas coleiras é equivalente a uma lança?

Solução

Sean:

Co = um colar

L = uma lança

E = escudo

Cu = uma faca

Então nós temos os seguintes relacionamentos:

Co + L = E

L = Co + Cu

2E = 3Cu

Portanto, o problema é reduzido para resolver um sistema de equações. Apesar de ter mais incógnitas do que equações, este sistema pode ser resolvido, uma vez que não solicitam uma solução específica, mas uma das variáveis ​​dependendo de outra. O que devemos fazer é expressar "Co" em função de "L" exclusivamente.

A partir da segunda equação temos que Cu = L - Co. Substituindo no terceiro obtemos E = (3L - 3Co) / 2. Finalmente, substituindo a primeira equação e simplificando-a, obtemos que 5Co = L; isto é, que uma lança é igual a cinco colares.

Referências

1. Billstein, R., Libeskind, S., e Lott, J. W. (2013). Matemática: uma abordagem de resolução de problemas para professores de educação básica. López Mateos Editores.
2. Fontes, A. (2016). MATEMÁTICA BÁSICA. Uma introdução ao cálculo Lulu.com
3. García Rua, J. e Martínez Sánchez, J. M. (1997). Matemática elementar básica. Ministério da Educação.
4. Rees, P. K. (1986). Álgebra Reverte
5. Rock, N. M. (2006). Álgebra eu é fácil! Tão fácil Team Rock Press.
6. Smith, S. A. (2000). Álgebra Educação Pearson.
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