Redução de Termos Similares (com Exercícios Resolvidos)

O redução de termos semelhantes é um método usado para simplificar expressões algébricas. Em uma expressão algébrica, termos semelhantes são aqueles que têm a mesma variável; ou seja, eles têm as mesmas incógnitas representadas por uma letra e têm os mesmos expoentes.

Em alguns casos, os polinômios são extensos e, para chegar a uma solução, você deve tentar reduzir a expressão; Isso é possível quando há termos semelhantes, que podem ser combinados aplicando-se operações e propriedades algébricas como adição, subtração, multiplicação e divisão.

Índice

• 1 Explicação
• 2 Como fazer uma redução de termos semelhantes?
  • 2.1 Exemplo
  • 2.2 Redução de termos similares com sinais de igual
  • 2.3 Redução de termos similares com sinais diferentes
• 3 Redução de termos semelhantes em operações
  • 3.1 Em somas
  • 3.2 Em subtração
  • 3.3 Em multiplicações
  • 3.4 Nas divisões
• 4 exercícios resolvidos
  • 4.1 Primeiro exercício
  • 4.2 Segundo exercício
• 5 referências

Explicação

Termos similares são formados pelas mesmas variáveis ​​com os mesmos expoentes e, em alguns casos, são diferenciados apenas por seus coeficientes numéricos.

Termos similares também são considerados aqueles que não possuem variáveis; isto é, aqueles termos que só têm constantes. Assim, por exemplo, os seguintes termos são semelhantes:

- 6x² - 3x². Ambos os termos têm a mesma variável x².

- 4a²b³ + 2a²b³. Ambos os termos têm as mesmas variáveis ​​para²b³.

- 7 - 6. Os termos são constantes.

Os termos que possuem as mesmas variáveis, mas com expoentes diferentes, são chamados de termos não semelhantes, como:

- 9a²b + 5ab. As variáveis ​​têm diferentes expoentes.

- 5x + y. As variáveis ​​são diferentes.

- b - 8. Um termo tem uma variável, o outro é uma constante.

Identificando os termos similares que formam um polinômio, estes podem ser reduzidos a um, combinando todos aqueles que possuem as mesmas variáveis ​​com expoentes iguais. Desta forma, a expressão é simplificada pela diminuição do número de termos que a compõem e o cálculo de sua solução é facilitado.

Como fazer uma redução de termos semelhantes?

A redução de termos similares é feita aplicando-se a propriedade associativa da adição e a propriedade distributiva do produto. Usando o procedimento a seguir, uma redução de termos pode ser feita:

- Primeiro, os termos semelhantes são agrupados.

- Os coeficientes (os números que acompanham as variáveis) dos termos similares são adicionados ou subtraídos, e as propriedades associativas, comutativas ou distributivas são aplicadas, conforme o caso.

- Depois que os novos termos obtidos são escritos, colocando na frente destes o sinal que resultou da operação.

Exemplo

Reduza os termos da seguinte expressão: 10x + 3y + 4x + 5y.

Solução

Primeiro, os termos são classificados para agrupar aqueles que são semelhantes, aplicando a propriedade comutativa:

10x + 3y + 4x + 5y = 10x + 4x + 3y + 5y.

Então a propriedade distributiva é aplicada e os coeficientes que acompanham as variáveis ​​são adicionados para obter a redução dos termos:

10x + 4x + 3a + 5a

= (10 + 4) x + (3 + 5) e

= 14x + 8a

Para reduzir termos semelhantes, é importante levar em conta os sinais de que eles têm os coeficientes que acompanham a variável. Existem três casos possíveis:

Redução de termos semelhantes com sinais de igual

Neste caso os coeficientes são adicionados e antes do resultado o sinal dos termos é colocado. Portanto, se forem positivos, os termos resultantes serão positivos; no caso de os termos serem negativos, o resultado terá o sinal (-) acompanhado da variável. Por exemplo:

a) 22ab² + 12ab² = 34 ab².

b) -18x³ - 9x³ - 6 = -27x³ - 6.

Redução de termos semelhantes cem sinais diferentes

Nesse caso, os coeficientes são subtraídos e, diante do resultado, o sinal do maior coeficiente é colocado. Por exemplo:

a) 15x²e - 4x²e + 6x²e - 11x²e

= (15x²e + 6x²y) + (- 4x²e - 11x²y)

= 21x²y + (-15x²y)

= 21x²e - 15x²e

= 6x²e

b) -5a³b + 3 a³b - 4a³b + a³b

= (3 a³b + a³b) + (-5a³b - 4a³b)

= 4a³b - 9a³b

= -5 a³b.

Desta forma, para reduzir termos similares que possuem sinais diferentes, um único termo aditivo é formado com todos aqueles com um sinal positivo (+), os coeficientes são somados e o resultado é acompanhado pelas variáveis.

Da mesma forma que um termo subtrativo é formado, com todos os termos que possuem um sinal negativo (-), os coeficientes são somados e o resultado é acompanhado pelas variáveis.

Finalmente, as somas dos dois termos formados são subtraídas e o resultado do sinal do major é colocado.

Redução de termos semelhantes em operações

A redução de termos similares é uma operação de álgebra, que pode ser aplicada em adição, subtração, multiplicação e divisão algébrica.

Em somas

Quando você tem vários polinômios com termos similares, a fim de reduzi-los, você ordena os termos de cada polinômio mantendo seus sinais, depois escreve um após o outro e reduz os termos similares. Por exemplo, temos os seguintes polinômios:

3x - 4xy + 7x²e + 5xy².

- 6x²e - 2xy + 9 xy² - 8x

Na subtração

Para subtrair um polinômio de outro, o minuendo é escrito e então o subtraendo com seus sinais alterados, e então a redução dos termos similares é feita. Por exemplo:

5a³ - 3ab² + 3b²c

6ab² + 2a³ - 8b²c

Assim, os polinômios são resumidos em 3a³ - 9ab² + 11b²c.

Em multiplicações

Em um produto de polinômios, multiplique os termos que compõem o multiplicando para cada termo que forma o multiplicador, considerando que os sinais de multiplicação permanecem os mesmos se forem positivos.

Eles só serão alterados quando multiplicados por um termo negativo; ou seja, quando dois termos do mesmo sinal são multiplicados, o resultado será positivo (+) e, quando tiverem sinais diferentes, o resultado será negativo (-).

Por exemplo:

a) (a + b) _* (a + b)

= a² + ab + ab + b²

= a² + 2ab + b².

b) (a + b) _* (a - b)

= a² - ab + ab - b²

= a² - b².

c) (a - b) _* (a - b)

= a² - ab - ab + b²

= a² - 2ab + b².

Nas divisões

Quando você quer reduzir dois polinômios através de uma divisão, você deve encontrar um terceiro polinômio que, quando multiplicado pelo segundo (divisor), resulta no primeiro polinômio (dividendo).

Para isso, os termos do dividendo e do divisor devem ser ordenados, da esquerda para a direita, para que as variáveis ​​em ambos estejam na mesma ordem.

Em seguida, é feita a divisão, a partir do primeiro termo à esquerda do dividendo entre o primeiro à esquerda do divisor, sempre levando em conta os sinais de cada termo.

Por exemplo, reduza o polinômio: 10x⁴ - 48x³e + 51x²e² + 4xy³ - 15 anos⁴ dividindo-o entre o polinômio: -5x² + 4xy + 3y².

O polinômio resultante é -2x² + 8xy - 5a².

Exercícios resolvidos

Primeiro exercício

Reduza os termos da expressão algébrica dada:

15a² - 8ab + 6a² - 6ab - 9 + 4a² - 13 ab.

Solução

A propriedade comutativa da soma é aplicada, agrupando os termos que possuem as mesmas variáveis:

15a² - 8ab + 6a² - 6ab + 9 + 4a² - 13

= (15a² + 6a² + 4a²) + (- 8ab - 6ab) + (9 - 13).

Então a propriedade distributiva da multiplicação é aplicada:

15a² - 8ab + 6a² - 6ab + 9 + 4a² - 13

= (15 + 6 + 4) a² + (- 8 - 6) ab + (9 - 13).

Finalmente, eles são simplificados adicionando e subtraindo os coeficientes de cada termo:

15a² - 8ab + 6a² - 6ab + 9 + 4a² - 13

= 25a² - 14ab - 4.

Segundo exercício

Simplifique o produto dos seguintes polinômios:

(8x³ + 7xy²)_*(8x³ - 7 xy²).

Solução

Multiplique cada termo do primeiro polinômio pelo segundo, levando em conta que os sinais dos termos são diferentes; portanto, o resultado de sua multiplicação será negativo, assim como as leis dos expoentes também devem ser aplicadas.

(8x³ + 7xy²) _* (8x³ - 7xy²)

= 64 x⁶ - 56 x³_* xy² + 56 x³_* xy² - 49 x²e⁴

= 64 x⁶ - 49 x²e⁴.

Referências

1. Angel, A. R. (2007). Álgebra Elementar Educação Pearson,.
2. Baldor, A. (1941). Álgebra Havana: Cultura.
3. Jerome E. Kaufmann, K. L. (2011). Álgebra Elementar e Intermediária: Uma Abordagem Combinada. Flórida: Cengage Learning.
4. Smith, S. A. (2000). Álgebra Educação Pearson.
5. Vigil, C. (2015). Álgebra e suas aplicações.