Bayes theorem explanation, applications, exercises



O Teorema de Bayes é um procedimento que nos permite expressar a probabilidade condicional de um evento aleatório A dado B, em termos da distribuição de probabilidade do evento B dado A e a distribuição de probabilidade de apenas A.

Este teorema é muito útil, pois graças a ele podemos relacionar a probabilidade de que um evento A ocorra sabendo que B ocorreu, com a probabilidade de que ocorra o oposto, isto é, que B ocorre dado A.

O teorema de Bayes era uma proposta de prata do reverendo Thomas Bayes, um teólogo inglês do século XVIII que também era matemático. Ele foi o autor de vários trabalhos em teologia, mas atualmente é conhecido por um par de tratados matemáticos, entre os quais o mencionado Bayes Theorem se destaca como o principal resultado.

Bayes lidou com este teorema em um artigo intitulado "Um Ensaio para Resolver um Problema na Doutrina das Possibilidades", publicado em 1763, e sobre o qual grandes obras foram desenvolvidas. Estudos com aplicações em diversas áreas do conhecimento.

Índice

  • 1 Explicação
  • 2 Aplicações do Teorema de Bayes
    • 2.1 Exercícios Resolvidos
  • 3 referências

Explicação

Em primeiro lugar, para uma melhor compreensão deste teorema, algumas noções básicas da teoria da probabilidade são necessárias, especialmente o teorema da multiplicação para a probabilidade condicional, que afirma que

Para E e A eventos arbitrários de um espaço de amostra S.

E a definição de partições, que nos diz que, se temos um1 , Um2, ..., An eventos de um espaço de amostragem S, estes formarão uma partição de S, se oeu eles são mutuamente exclusivos e sua união é S.

Tendo isto, deixe B ser outro evento. Então podemos ver B como

Onde o Aeu intersectado com B são eventos mutuamente exclusivos.

E, consequentemente,

Então, aplicando o teorema da multiplicação

Por outro lado, a probabilidade condicional de Ai dado B é definida por

Substituindo adequadamente temos que para qualquer i

Aplicações do Teorema de Bayes

Graças a esse resultado, grupos de pesquisa e diversas corporações conseguiram melhorar os sistemas baseados no conhecimento.

Por exemplo, no estudo das doenças, o teorema de Bayes pode ajudar a discernir a probabilidade de uma doença ser encontrada em um grupo de pessoas com uma dada característica, tomando como dados as taxas globais da doença e a predominância dessas características em pessoas saudáveis ​​e doentes.

Por outro lado, no mundo das altas tecnologias, influenciou grandes empresas que desenvolveram, graças a este resultado, o software "Based on Knowledge".

Como um exemplo diário, temos o assistente do Microsoft Office. O teorema de Bayes ajuda o software a avaliar os problemas apresentados pelo usuário e a determinar que conselhos fornecer e, assim, oferecer um serviço melhor de acordo com os hábitos do usuário.

Note-se que esta fórmula foi ignorada até tempos recentes, isto é principalmente devido ao fato de que quando este resultado foi desenvolvido há 200 anos, havia pouco uso prático para eles. No entanto, no nosso tempo, graças aos grandes avanços tecnológicos, os cientistas conseguiram maneiras de colocar esse resultado em prática.

Exercícios Resolvidos

Exercício 1

Uma empresa de celular tem duas máquinas A e B. 54% dos telefones celulares produzidos são feitos pela máquina A e o restante pela máquina B. Nem todos os telefones celulares produzidos estão em boas condições.

A proporção de telefones celulares defeituosos feita por A é 0,2 e por B é 0,5. Qual é a probabilidade de um celular daquela fábrica estar com defeito? Qual é a probabilidade de que, sabendo que um celular está com defeito, venha da máquina A?

Solução

Aqui, você tem uma experiência que é feita em duas partes; na primeira parte os eventos ocorrem:

Um: telefone celular feito pela máquina A.

B: celular feito pela máquina B.

Como a máquina A produz 54% dos telefones celulares e o restante é produzido pela máquina B, a máquina B produz 46% dos telefones celulares. As probabilidades desses eventos são dadas, a saber:

P (A) = 0,54.

P (B) = 0,46.

Os eventos da segunda parte do experimento são:

D: celular com defeito

E: celular sem defeito.

Como se diz na declaração, as probabilidades desses eventos dependem do resultado obtido na primeira parte:

P (D | A) = 0,2.

P (D | B) = 0,5.

Usando esses valores, você também pode determinar as probabilidades dos complementos desses eventos, ou seja:

P (E | A) = 1 - P (D | A)

= 1 - 0,2

= 0,8

e

p (E | B) = 1 - P (D | B)

= 1 - 0,5

= 0,5.

Agora, o evento D pode ser escrito da seguinte forma:

Esses eventos são mutuamente exclusivos.

Usando o teorema da multiplicação para probabilidade condicional, resulta:

Com o qual a primeira pergunta é respondida.

Agora só precisamos calcular P (A | D), para o qual o Teorema de Bayes se aplica:

Graças ao Teorema de Bayes, pode-se dizer que a probabilidade de um celular ser feito pela máquina A, sabendo que o celular está com defeito, é de 0,319.

Exercício 2

Três caixas contêm bolas brancas e pretas. A composição de cada um deles é a seguinte: U1 = {3B, 1N}, U2 = {2B, 2N}, U3 = {1B, 3N}.

Uma das caixas é escolhida aleatoriamente e uma bola aleatória é retirada, o que acaba por ser branco. Qual é a caixa com maior probabilidade de ter sido escolhida?

Solução

Através de U1, U2 e U3, também representamos a caixa escolhida.

Estes eventos constituem uma partição de S e verifica-se que P (U1) = P (U2) = P (U3) = 1/3, pois a escolha da caixa é aleatória.

Se B = {a bola extraída é branca}, teremos P (B | U1) = 3/4, P (B | U2) = 2/4, P (B | U3) = 1/4.

O que queremos obter é a probabilidade de que a bola tenha sido retirada da caixa Ui sabendo que a bola era branca, isto é, P (Ui | B), e ver qual dos três valores era o mais alto para saber qual caixa tem sido mais provável a extração da bola branca.

Aplicando o teorema de Bayes à primeira das caixas:

E para os outros dois:

P (U2 | B) = 2/6 e P (U3 | B) = 1/6.

Então, a primeira das caixas é aquela que tem maior probabilidade de ter sido escolhida para a extração da bola branca.

Referências

  1. Kai Lai Chung Teoria elementar da probabilidade com processos estocásticos. Springer-Verlag New York Inc
  2. Kenneth.H. Rosen, Matemática Discreta e suas Aplicações. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
  3. Paul L. Meyer. Probabilidade e Aplicativos Estatísticos. S.A. ALHAMBRA MEXICANA.
  4. Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 Matemática Discreta Resolvido Problemas. McGraw-Hill.
  5. Seymour Lipschutz Ph.D. Teoria e Problemas de Probabilidade. McGraw-Hill.