A equação, as aplicações e o exercício resolvido do teorema de Bernoulli Bernoulli

O Teorema de Bernoulli, que descreve o comportamento de um fluido em movimento, foi enunciado pelo matemático e físico Daniel Bernoulli em seu trabalho Hidrodinâmica. De acordo com o princípio, um fluido ideal (sem fricção ou viscosidade) que esteja em circulação por um conduto fechado, terá uma energia constante em seu caminho.

O teorema pode ser deduzido do princípio de conservação de energia e até mesmo da segunda lei de movimento de Newton. Além disso, o princípio de Bernoulli também afirma que um aumento na velocidade de um fluido significa uma diminuição na pressão à qual ele é submetido, uma diminuição em sua energia potencial ou ambos ao mesmo tempo.

O teorema tem muitas aplicações diferentes, tanto no que diz respeito ao mundo da ciência quanto ao cotidiano das pessoas.

Suas conseqüências estão presentes na força dos aviões, nas chaminés das residências e indústrias, nos canos de água, entre outras áreas.

Índice

• 1 equação de Bernoulli
  • 1.1 Forma simplificada
• 2 aplicações
• 3 Exercício resolvido
• 4 referências

Equação de Bernoulli

Embora Bernoulli tenha sido quem deduziu que a pressão diminui quando a velocidade do fluxo aumenta, o fato é que foi Leonhard Euler quem realmente desenvolveu a equação de Bernoulli da maneira como é atualmente conhecida.

Em qualquer caso, a equação de Bernoulli, que nada mais é do que a expressão matemática de seu teorema, é a seguinte:

v² 2 ƿ / 2 + P + ƿ ∙ g ∙ z = constante

Nessa expressão, v é a velocidade do fluido através da seção considerada, ƿ é a densidade do fluido, P é a pressão do fluido, g é o valor da aceleração da gravidade e z é a altura medida na direção da gravidade.

Está implícito na equação de Bernoulli que a energia de um fluido consiste em três componentes:

- Um componente cinético, que é o resultado da velocidade na qual o fluido se move.

- Um componente potencial ou gravitacional, que é devido à altura em que o fluido está localizado.

- Uma energia de pressão, que é o que o fluido possui como resultado da pressão a que está sujeito.

Por outro lado, a equação de Bernoulli também pode ser expressa assim:

v₁ ² ∙ ƿ / 2 + P₁ + ƿ ∙ g ∙ z₁ = v₂² ∙ ƿ / 2 + P₂ + ƿ ∙ g ∙ z₂

Esta última expressão é muito prática para analisar as mudanças que um fluido experimenta quando qualquer um dos elementos que compõem a equação mudam.

Forma simplificada

Em certas ocasiões a mudança no termo ρgz da equação de Bernoulli é mínima comparada com aquela experimentada pelos outros termos, então é possível negligenciá-la. Por exemplo, isso acontece nas correntes que um avião experimenta em vôo.

Nestas ocasiões, a equação de Bernoulli é expressa da seguinte forma:

P + q = P₀

Nesta expressão q é pressão dinâmica e igual a v ² ∙ ƿ / 2 e P₀ é o que é chamado de pressão total e é a soma da pressão estática P e da pressão dinâmica q.

Aplicações

O teorema de Bernoulli tem muitas e diversas aplicações em campos tão diversos quanto ciência, engenharia, esportes, etc.

Uma aplicação interessante é encontrada no projeto de chaminés. As chaminés são construídas altas, a fim de alcançar uma maior diferença de pressão entre a base e a saída da chaminé, graças à qual é mais fácil extrair os gases de combustão.

Naturalmente, a equação de Bernoulli também se aplica ao estudo do movimento de fluxos líquidos em tubulações. Da equação segue que uma redução da superfície transversal do tubo, a fim de aumentar a velocidade do fluido que passa através dele, também implica uma diminuição na pressão.

A equação de Bernoulli também é usada na aviação e em veículos de Fórmula 1. No caso da aviação, o efeito Bernoulli é a origem do suporte da aeronave.

As asas da aeronave são projetadas com o objetivo de alcançar um maior fluxo de ar na parte superior da asa.

Assim, na parte superior da asa, a velocidade do ar é alta e, portanto, a pressão mais baixa. Essa diferença de pressão produz uma força direcionada verticalmente para cima (força de sustentação) que permite que a aeronave se mantenha no ar. Um efeito semelhante é obtido nos ailerons dos carros de Fórmula 1.

Exercício determinado

Através de um tubo com uma secção transversal de 4,2 cm² um fluxo de água flui a 5,18 m / s. A água desce de uma altura de 9,66 m para um nível mais baixo com uma altura de zero, enquanto a superfície transversal do tubo aumenta para 7,6 cm².

a) Calcule a velocidade do fluxo de água no nível inferior.

b) Determine a pressão no nível inferior sabendo que a pressão no nível superior é 152000 Pa.

Solução

a) Como o fluxo deve ser conservado, segue-se que:

Q_{nivel superior} = Q_{nível inferior}

v₁ . S₁ = v₂ . S₂

5,18 m / s. 4,2 cm² = v₂ . 7,6 cm ^²

Clearing, você entende isso:

v₂ = 2,86 m / s

b) Aplicando o teorema de Bernoulli entre os dois níveis, e levando em conta que a densidade da água é de 1000 kg / m³ você consegue isso:

v₁ ² ∙ ƿ / 2 + P₁ + ƿ ∙ g ∙ z₁ = v₂² ∙ ƿ / 2 + P₂ + ƿ ∙ g ∙ z₂

(1/2). 1000 kg / m³ . (5,18 m / s)² + 152000 + 1000 kg / m³ . 10 m / s² . 9,66 m =

= (1/2). 1000 kg / m³ . (2,86 m / s)² + P₂ + 1000 kg / m³ . 10 m / s² . 0 m

Apagando P₂ se chega a:

P₂ = 257926.4 Pa

Referências

1. Princípio de Bernoulli. (n.d.) Na Wikipedia. Retirado em 12 de maio de 2018, de es.wikipedia.org.
2. Princípio de Bernoulli. (n.d.) Na Wikipedia. Retirado em 12 de maio de 2018, de en.wikipedia.org.
3. Batchelor, G.K. (1967). Uma Introdução à Dinâmica dos Fluidos. Cambridge University Press.
4. Lamb, H. (1993). Hidrodinâmica (6a ed.). Cambridge University Press.
5. Mott, Robert (1996). Mecânica dos fluidos aplicados (4a ed.) México: Educação Pearson.