O Teorema de Bolzano Explicação, Aplicações e Exercícios Resolvidos

O Teorema de Bolzano estabelece que se uma função é contínua em todos os pontos de um intervalo fechado [a, b] e é certo que a imagem de "a" e "b" (sob a função) tem sinais opostos, então haverá pelo menos um ponto "C" no intervalo aberto (a, b), tal que a função avaliada em "c" será igual a 0.

Este teorema foi enunciado pelo filósofo, teólogo e matemático Bernard Bolzano em 1850. Este cientista, nascido na atual República Tcheca, foi um dos primeiros matemáticos da história a fazer uma demonstração formal das propriedades das funções contínuas.

Índice

• 1 Explicação
• 2 demonstração
• 3 O que é isso?
• 4 exercícios resolvidos
  • 4.1 Exercício 1
  • 4.2 Exercício 2
• 5 referências

Explicação

O teorema de Bolzano é também conhecido como o teorema dos valores intermediários, que ajuda na determinação de valores específicos, particularmente zeros, de certas funções reais de uma variável real.

Em uma determinada função f (x) continua - isto é, que f (a) ef (b) estão conectados por uma curva -, onde f (a) está abaixo do eixo x (é negativo) e f (b) é acima do eixo x (é positivo), ou vice-versa, graficamente haverá um ponto de corte no eixo x que representará um valor intermediário "c", que será entre "a" e "b", e o valor de f (c) será igual a 0

Analisando graficamente o teorema de Bolzano, podemos saber que para cada função f contínua definida em um intervalo [a, b], onde f (a)_*f (b) é menor que 0, haverá pelo menos uma raiz "c" dessa função dentro do intervalo (a, b).

Este teorema não estabelece o número de pontos existentes naquele intervalo aberto, apenas afirma que há pelo menos 1 ponto.

Demonstração

Para provar o teorema de Bolzano, assume-se sem perda de generalidade que f (a) <0 e f (b)> 0; dessa forma, pode haver muitos valores entre "a" e "b" para os quais f (x) = 0, mas apenas um precisa ser mostrado para existir.

Comece avaliando f no ponto médio (a + b) / 2. Se f ((a + b) / 2) = 0 então o teste termina aqui; Caso contrário, então f ((a + b) / 2) é positivo ou negativo.

Uma das metades do intervalo [a, b] é escolhida, de modo que os sinais da função avaliados nas extremidades sejam diferentes. Esse novo intervalo será [a1, b1].

Agora, se f avaliado no ponto médio de [a1, b1] não for zero, a mesma operação de antes é executada; ou seja, metade desse intervalo que atende à condição dos signos é escolhida. Deixe este novo intervalo ser [a2, b2].

Se este processo continuar, então duas sucessões {an} e {bn} serão tomadas, de forma que:

{an} está aumentando e {bn} está diminuindo:

a ≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an ≤ .... ≤ ... ≤ bn ≤ ... ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.

Se você calcular o comprimento de cada intervalo [ai, bi], você terá que:

b1-a1 = (b-a) / 2.

b2-a2 = (b-a) / 2².

… .

bn-an = (b-a) / 2 ^ n.

Portanto, o limite quando n tende ao infinito de (bn-an) é igual a 0.

Usando {an} está aumentando e limitado e {bn} está diminuindo e limitado, deve haver um valor "c" tal que:

um ≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ um ≤ .... ≤ c ≤ .... ≤ bn ≤ ... ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.

O limite de um é "c" e o limite de {bn} também é "c". Portanto, dado qualquer δ> 0, existe sempre um "n" tal que o intervalo [an, bn] está contido dentro do intervalo (c-δ, c + δ).

Agora, deve ser mostrado que f (c) = 0.

Se f (c)> 0, então, como f é contínuo, existe um ε> 0 tal que f é positivo ao longo do intervalo (c-ε, c + ε). No entanto, como dito acima, existe um valor "n" tal que f muda de sinal em [an, bn] e, além disso, [an, bn] está contido em (c-ε, c + ε), o que é uma contradição.

Se f (c) <0, então, como f é contínuo, existe um ε> 0 tal que f é negativo ao longo do intervalo (c-ε, c + ε); mas existe um valor "n" tal que f muda de sinal em [an, bn]. Acontece que [an, bn] está contido em (c-ε, c + ε), o que também é uma contradição.

Portanto, f (c) = 0 e é isso que queríamos mostrar.

Para que serve?

A partir de sua interpretação gráfica, o teorema de Bolzano é usado para encontrar raízes ou zeros em uma função contínua, através da bissecção (aproximação), que é um método de busca incremental que sempre divide os intervalos em 2.

Assim, se a função muda de sinal durante um intervalo, a função f é avaliada no ponto médio, que é expresso da seguinte forma:A raiz é encontrada quando f (c) = 0. Se não, o sinal de f (c) é analisado para determinar se é oposto ao sinal de f (a) ou de f (b).

Em seguida, tome um intervalo [a, c] ou [c, b] onde a mudança de sinal ocorre e repita o processo até que o intervalo seja menor e menor, para que você possa se aproximar do valor desejado; isto é, o valor que a função faz 0.

Em resumo, para aplicar o teorema de Bolzano e, assim, encontrar as raízes, delimitar os zeros de uma função ou dar solução a uma equação, são executados os seguintes passos:

- Verifique se f é uma função contínua no intervalo [a, b].

- Se o intervalo não é dado, deve-se encontrar um onde a função é contínua.

- Verifique se os extremos do intervalo dão sinais opostos quando avaliados em f.

- Se sinais opostos não forem obtidos, o intervalo deve ser dividido em dois subintervalos usando o ponto médio.

- Avaliar a função no ponto médio e verificar se a hipótese Bolzano é satisfeita, onde f (a) _* f (b) <0.

- Dependendo do sinal (positivo ou negativo) do valor encontrado, o processo é repetido com um novo subintervalo até que a hipótese mencionada seja cumprida.

Exercícios resolvidos

Exercício 1

Determine se a função f (x) = x² - 2, tem pelo menos uma solução real no intervalo [1,2].

Solução

Nós temos a função f (x) = x² - 2. Como é polinomial, significa que é contínuo em qualquer intervalo.

Você é solicitado a determinar se você tem uma solução real no intervalo [1, 2], então agora você só precisa substituir as extremidades do intervalo na função para saber o sinal delas e saber se elas atendem à condição de serem diferentes:

f (x) = x² - 2

f (1) = 1² - 2 = -1 (negativo)

f (2) = 2² - 2 = 2 (positivo)

Portanto, sinal de f (1) ≠ assina f (2).

Isso garante que haja pelo menos um ponto "c" que pertence ao intervalo [1,2], onde f (c) = 0.

Nesse caso, o valor de "c" pode ser facilmente calculado da seguinte maneira:

x² - 2 = 0

x = ± √2.

Assim, √2 ≈ 1,4 pertence ao intervalo [1,2] e satisfaz que f (√2) = 0.

Exercício 2

Prove que a equação x⁵ + x + 1 = 0 tem pelo menos uma solução real.

Solução

Primeiro note que f (x) = x⁵ + x + 1 é uma função polinomial, o que significa que é contínua em todos os números reais.

Neste caso, nenhum intervalo é dado, então você deve escolher os valores intuitivamente, preferencialmente perto de 0, para avaliar a função e encontrar o sinal alterado:

Se você usar o intervalo [0, 1] você precisa:

f (x) = x⁵ + x + 1

f (0) = 0⁵ + 0 + 1 = 1> 0.

f (1) = 1⁵ + 1 + 1 = 3> 0.

Como não há mudança de sinal, o processo é repetido com outro intervalo.

Se você usar o intervalo [-1, 0] você precisa:

f (x) = x⁵ + x + 1

f (-1) = (-1)⁵ + (-1) + 1 = -1 < 0.

f (0) = 0⁵ + 0 + 1 =  1 > 0.

Neste intervalo há uma mudança de sinal: sinal de f (-1) ≠ sinal de f (0), o que significa que a função f (x) = x⁵ + x + 1 tem pelo menos uma raiz real "c" no intervalo [-1, 0], tal que f (c) = 0. Em outras palavras, é verdade que x⁵ + x + 1 = 0 tem uma solução real no intervalo [-1,0].

Referências

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5. Mateos, M. L. (2013). Propriedades básicas da análise em R. Editores, 20 de dezembro.
6. Piskunov, N. (1980). Cálculo Diferencial e Integral ...
7. Sydsaeter K, H. P. (2005). Matemática para Análise Econômica. Felix Varela
8. William H. Barker, R.H. (s.f.). Simetria Contínua: De Euclides a Klein. American Mathematical Soc.