Teorema de Chebyshov Do que consiste, aplicações e exemplos



O Teorema de Chebyshov (ou a desigualdade de Chebyshov) é um dos resultados clássicos mais importantes da teoria da probabilidade. Isso nos permite estimar a probabilidade de um evento descrito em termos de uma variável aleatória X, fornecendo-nos uma dimensão que não depende da distribuição da variável aleatória, mas da variância de X.

O teorema é nomeado após o matemático russo Chebyshev Pafnuty (também escrito como Chebychev ou Tchebycheff) que, apesar de não ser o primeiro a enunciar este teorema, foi o primeiro a dar uma demonstração em 1867.

Essa desigualdade, ou aquelas que por suas características são chamadas de desigualdade de Chebyshov, é usada principalmente para aproximar probabilidades por meio do cálculo de dimensões.

Índice

  • 1 o que é isso?
  • 2 Aplicações e exemplos
    • 2.1 Limitação de probabilidades
    • 2.2 Demonstração dos Teoremas do Limite
    • Tamanho da amostra 2.3
  • 3 Desigualdades tipo Chebyshov
  • 4 referências

Em que consiste?

No estudo da teoria da probabilidade ocorre se a função distribuição de uma variável aleatória X é conhecida, é possível calcular o seu valor esperado, ou matemática expectativa E (X) - e sua variância Var (X), desde que as quantidades mencionadas existem. No entanto, o recíproco não é necessariamente verdade.

Isto é, saber E (X) e Var (X) não podem necessariamente obter a função de distribuição de X, então quantidades P (| X |> k) para algum k> 0, são muito difíceis de obter. Mas, graças à desigualdade de Chebyshov, é possível estimar a probabilidade da variável aleatória.

O teorema de Chebyshov nos diz que se temos uma variável aleatória X sobre um espaço de amostra S com uma função de probabilidade p, e se k> 0, então:

Aplicações e exemplos

Entre as muitas aplicações que o teorema de Chebyshov possui, pode-se mencionar o seguinte:

Diluição de probabilidades

Esta é a aplicação mais comum e é utilizada para fornecer um limite superior para a P (| XE (X) | ≥k), onde k> 0, apenas a variância e expectativa da variável aleatória X, sem conhecer a função de probabilidade .

Exemplo 1

Suponha que o número de produtos fabricados em uma empresa durante uma semana seja uma variável aleatória com uma média de 50.

Se sabemos que a variância de uma semana de produção é igual a 25, então o que podemos dizer sobre a probabilidade de que esta semana a produção seja diferente em mais de 10 da média?

Solução

Aplicando a desigualdade de Chebyshov, temos que:

A partir disto podemos obter que a probabilidade de que na semana de produção o número de artigos exceda em mais de 10 a média é no máximo 1/4.

Demonstração dos Teoremas do Limite

A desigualdade de Chebyshov desempenha um papel importante na demonstração dos teoremas de limite mais importantes. Como exemplo, temos o seguinte:

Lei fraca de grandes números

Esta lei estabelece que dada uma seqüência X1, X2, ..., Xn, ... de variáveis ​​aleatórias independentes com a mesma distribuição média E (Xi) = μ e variância Var (X) = σ2e uma amostra média conhecida de:

Então para k> 0 você tem que:

Ou, equivalentemente:

Demonstração

Primeiro, vamos observar o seguinte:

Como X1, X2, ..., Xn são independentes, segue-se que:

Portanto, é possível afirmar o seguinte:

Então, usando o teorema de Chebyshov, temos que:

Finalmente, o teorema resulta do fato de que o limite à direita é zero quando n tende ao infinito.

Deve-se notar que este teste foi feito apenas para o caso em que a variância de Xi existe; isto é, não diverge. Assim, observamos que o teorema é sempre verdadeiro se E (Xi) existe.

Teorema do limite de Chebyshov

Se X1, X2, ..., Xn, ... é uma sequência de variáveis ​​aleatórias independentes de tal modo que haja qualquer C <infinito, de tal modo que Var (Xn) ≤ C durante todo n natural, então para qualquer k> 0:

Demonstração

Como a sucessão de variâncias é uniformemente limitada, temos Var (Sn) ≤ C / n, para todo n natural. Mas nós sabemos que:

Ao fazer n tendendo para o infinito, os seguintes resultados:

Como uma probabilidade não pode exceder o valor de 1, o resultado desejado é obtido. Como conseqüência desse teorema, podemos mencionar o caso particular de Bernoulli.

Se um experimento é repetido n vezes independentemente com dois resultados possíveis (falha e sucesso), onde p é a probabilidade de sucesso em cada experimento e X é a variável aleatória que representa o número de sucessos obtidos, então para cada k> 0 se tem que:

Tamanho da amostra

Em termos de variância, desigualdade Chebyshov permite-nos encontrar um tamanho de amostra N que é suficiente para assegurar que a probabilidade de que | Sn-μ |> = k ocorre é tão pequeno quanto desejado, o que permite uma aproximação para a média.

Precisamente, seja X1, X2, ... Xn uma amostra de variáveis ​​aleatórias independentes de tamanho n e suponhamos que E (Xi) = μ e sua variância σ2. Então, por causa da desigualdade de Chebyshov, temos que:

Agora vamos δ> 0 ser fixo. Temos que:

Exemplo

Suponha que X1, X2, ... Xn são uma amostra de variáveis ​​aleatórias independentes com a distribuição de Bernoulli, de modo que eles tomem o valor 1 com probabilidade p = 0,5.

Qual deve ser o tamanho da amostra para poder garantir que a probabilidade de que a diferença entre a média aritmética Sn e seu valor esperado (que excede mais de 0,1) seja menor ou igual a 0., 01?

Solução

Temos que E (X) = μ = p = 0,5 e que Var (X) = σ2= p (1-p) = 0,25. Para a desigualdade de Chebyshov, para qualquer k> 0 temos que:

Agora, tomando k = 0,1 e δ = 0,01, temos que:

Desta forma, conclui-se que um tamanho de amostra de pelo menos 2500 é necessário para assegurar que a probabilidade do evento | Sn - 0.5 |> = 0.1 seja menor que 0.01.

Desigualdades tipo Chebyshov

Existem várias desigualdades relacionadas à desigualdade de Chebyshov. Uma das mais conhecidas é a desigualdade de Markov:

Nesta expressão, X é uma variável aleatória não negativa com k, r> 0.

A desigualdade de Markov pode assumir formas diferentes. Por exemplo, seja Y uma variável aleatória não negativa (portanto, P (Y> = 0) = 1) e suponha que E (Y) = μ exista. Suponha também que (E (Y))r=μr existe para algum inteiro r> 1. Então:

Outra desigualdade é a de Gauss, que nos diz que dada uma variável aleatória unimodal X com modo em zero, então para k> 0,

Referências

  1. Kai Lai Chung Teoria elementar da probabilidade com processos estocásticos. Springer-Verlag New York Inc
  2. Kenneth.H. Rosen, Matemática Discreta e suas Aplicações. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
  3. Paul L. Meyer. Probabilidade e Aplicativos Estatísticos. S.A. ALHAMBRA MEXICANA.
  4. Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 Matemática Discreta Resolvido Problemas. McGraw-Hill.
  5. Seymour Lipschutz Ph.D. Teoria e Problemas de Probabilidade. McGraw-Hill.