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Fórmulas do Teorema de Euclides, Demonstração, Aplicação e Exercícios
O Teorema de Euclides demonstra as propriedades de um triângulo retângulo desenhando uma linha que o divide em dois novos triângulos retos que são semelhantes entre si e, por sua vez, são semelhantes ao triângulo original; então, existe uma relação de proporcionalidade.
Euclides foi um dos maiores matemáticos e geômetras da antiguidade que fez várias demonstrações de importantes teoremas. Um dos principais é o que leva seu nome, que teve uma ampla aplicação.
Isso porque, através desse teorema, explica de maneira simples as relações geométricas existentes no triângulo retângulo, onde as pernas estão relacionadas a suas projeções na hipotenusa.
Índice
- 1 Fórmulas e demonstração
- 1.1 Teorema da altura
- 1.2 Teorema das pernas
- 2 Relação entre os teoremas de Euclides
- 3 exercícios resolvidos
- 3.1 Exemplo 1
- 3,2 Exemplo 2
- 4 referências
Fórmulas e demonstração
O teorema de Euclides propõe que, em cada triângulo retângulo, quando uma linha é traçada, que representa a altura correspondente ao vértice do ângulo reto em relação à hipotenusa, dois triângulos retos são formados a partir do original.
Esses triângulos serão semelhantes entre si e também serão semelhantes ao triângulo original, o que significa que seus lados similares são proporcionais uns aos outros:
Os ângulos dos três triângulos são congruentes; isto é, que ao ser girado a 180 graus em seu vértice, um ângulo coincide no outro. Isso implica que todos serão iguais.
Desta forma, você também pode verificar a semelhança que existe entre os três triângulos, pela igualdade de seus ângulos. Da semelhança de triângulos, Euclides estabelece as proporções destes a partir de dois teoremas:
- Teorema da altura.
- Teorema das pernas.
Este teorema tem uma ampla aplicação. Na Antiguidade era usado para calcular alturas ou distâncias, representando um grande avanço para a trigonometria.
Atualmente, ele é aplicado em diversas áreas baseadas em matemática, como engenharia, física, química e astronomia, entre muitas outras áreas.
Teorema da altura
Este teorema afirma que em qualquer triângulo retângulo, a altura desenhada a partir do ângulo reto em relação à hipotenusa é a média geométrica proporcional (o quadrado da altura) entre as projeções das pernas que determina a hipotenusa.
Ou seja, o quadrado da altura será igual à multiplicação das pernas projetadas que formam a hipotenusa:
hc2 = m * n
Demonstração
Dado um triângulo ABC, que é um retângulo no vértice C, ao traçar a altura, dois triângulos retângulos iguais, ADC e BCD, são gerados; portanto, seus lados correspondentes são proporcionais:
De tal forma que a altura hc que corresponde ao segmento CD, corresponde à hipotenusa AB = c, então temos que:
Por sua vez, isso corresponde a:
Limpando a hipotenusa (hc), para multiplicar os dois membros da igualdade, você tem que:
hc * hc = m * n
hc2 = m * n
Assim, o valor da hipotenusa é dado por:
Teorema das pernas
Este teorema afirma que, em qualquer triângulo retângulo, a medida de cada perna será a média geométrica proporcional (o quadrado de cada perna) entre a medida da hipotenusa (completa) e a projeção de cada uma sobre ela:
b2 = c * m
um2 = c* n
Demonstração
Dado um triângulo ABC, que é um retângulo no vértice C, tal que sua hipotenusa é c, ao traçar a altura (h), as projeções das pernas aeb, que são os segmentos m e n, respectivamente, são determinadas. a hipotenusa.
Assim, temos que a altura desenhada no triângulo direito ABC gera dois triângulos retângulos iguais, ADC e BCD, de modo que os lados correspondentes são proporcionais, assim:
DB = n, que é a projeção da perna CB na hipotenusa.
AD = m, que é a projeção do cateto CA na hipotenusa.
Então, a hipotenusa c é determinada pela soma das pernas de suas projeções:
c = m + n
Devido à semelhança dos triângulos ADC e BCD, temos que:
O acima é o mesmo que:
Limpando a perna "a" para multiplicar os dois membros da igualdade, você deve:
um * a = c * n
um2 = c * n
Assim, o valor da perna "a" é dado por:
Da mesma forma, pela semelhança dos triângulos ACB e ADC, temos que:
O acima é igual a:
Ao limpar a perna "b" para multiplicar os dois membros da igualdade, deve-se:
b * b = c * m
b2 = c * m
Assim, o valor da perna "b" é dado por:
Relação entre os teoremas de Euclides
Os teoremas com referência a altura e pernas estão relacionados uns aos outros, porque a medição de ambos é feita em relação à hipotenusa do triângulo retângulo.
Através da relação dos teoremas de Euclides, o valor da altura também pode ser encontrado; isso é possível limpando os valores de m e n do teorema da perna e eles são substituídos no teorema da altura. Desta forma, a altura é igual à multiplicação das pernas, dividida pela hipotenusa:
b2 = c * m
m = b2 ÷ c
um2 = c * n
n = a2 ÷ c
No teorema da altura, m e n são substituídos:
hc2 = m * n
hc2 = (b2 ÷ c) * (um2 ÷ c)
hc = (b2 * um2) ÷ c
Exercícios resolvidos
Exemplo 1
Dado o triângulo ABC, retângulo em A, determine a medida de AC e AD, se AB = 30 cm e BD = 18 cm
Solução
Neste caso, temos as medidas de uma das pernas projetadas (BD) e de uma das pernas do triângulo original (AB). Desta forma, o teorema da perna pode ser aplicado para encontrar o valor da perna BC.
AB2 = BD * BC
(30)2 = 18 * BC
900 = 18 * BC
BC = 900 ÷ 18
BC = 50 cm
O valor do CD catetus pode ser encontrado sabendo que BC = 50:
CD = BC - BD
CD = 50 - 18 = 32 cm
Agora é possível determinar o valor do cateto AC, aplicando novamente o teorema da perna:
AC2 = CD * BD
AC2 = 32 * 50
AC2 = 160
CA = 1600 = 40 cm
Para determinar o valor da altura (AD), aplica-se o teorema da altura, uma vez que os valores das pernas projetadas CD e BD são conhecidos:
AD2 = 32 * 18
AD2 = 576
D = 576
Dc = 24 cm
Exemplo 2
Determine o valor da altura (h) de um triângulo MNL, retângulo em N, conhecendo as medidas dos segmentos:
NL = 10 cm
MN = 5 cm
PM = 2 cm
Solução
Você tem a medida de uma das pernas projetadas na hipotenusa (PM), assim como as medidas das pernas do triângulo original. Desta forma, você pode aplicar o teorema da perna para encontrar o valor do outro caté projetado (LN):
NL2 = PM * LM
(10)2 = 5 * LM
100 = 5 * LM
PL = 100 ÷ 5 = 20
Como já sabemos o valor das pernas e a hipotenusa, através da relação dos teoremas da altura e das pernas, o valor da altura pode ser determinado:
NL = 10
MN = 5
LM = 20
h = (b2 * um2) ÷ c.
h = (102 * 52) ÷ (20)
h = (100 * 25) ÷ (20)
h = 2500 ÷ 20
h = 125 cm.
Referências
- Braun, E. (2011). Caos, fractais e coisas estranhas. Fundo de Cultura Econômica.
- Cabrera, V. M. (1974). Matemática moderna, Volume 3.
- Daniel Hernandez, D. P. (2014). Matemática do 3º ano Caracas: Santillana
- Enciclopédia Britânica, i. (1995). Enciclopédia Hispânica: Macropedia. Enciclopédia Britannica Publishers.
- Euclid, R. P. (1886). Elementos de Geometria de Euclides.
- Guardeño, A. J. (2000). O legado da matemática: de Euclides a Newton, os gênios através de seus livros. Universidade de Sevilha.