Teorema de Lamy (com exercícios resolvidos)



O Teorema de Lamy Estabelece que quando um corpo rígido está em equilíbrio e na ação de três forças coplanares (forças que estão no mesmo plano), suas linhas de ação coincidem no mesmo ponto.

O teorema foi deduzido pelo físico e religioso francês Bernard Lamy e originou-se da lei dos seios. É muito usado para encontrar o valor de um ângulo, da linha de ação de uma força ou para formar o triângulo de forças.

Índice

  • 1 Teorema de Lamy
  • 2 Exercício resolvido
    • 2.1 Solução
  • 3 referências

Teorema de Lamy

O teorema afirma que, para que a condição de equilíbrio seja satisfeita, as forças devem ser coplanares; isto é, a soma das forças exercidas em um ponto é zero.

Além disso, como se observa na imagem seguinte, cumpre-se que ao estender as linhas de ação destas três forças, elas coincidem no mesmo ponto.

Assim, se três forças estão no mesmo plano e são concorrentes, a magnitude de cada força será proporcional ao seno do ângulo oposto, que é formado pelas outras duas forças.

Então, temos que T1, partindo do seno de α, é igual à razão de T2 / β, que por sua vez é igual à razão de T3 / Ɵ, ou seja:

Daqui resulta que os módulos destas três forças devem ser iguais se os ângulos que formam cada par de forças forem iguais a 120º.

Existe a possibilidade de um dos ângulos ser obtuso (medida entre 900 e 1800). Nesse caso, o seno desse ângulo será igual ao seno do ângulo suplementar (em seu par ele mede 1800).

Exercício determinado

Existe um sistema formado por dois blocos J ​​e K, que são pendurados em várias cordas formando ângulos em relação à horizontal, como mostra a figura. O sistema está em equilíbrio e o bloco J pesa 240 N. Determine o peso do bloco K.

Solução

Pelo princípio da ação e reação é que as tensões exercidas nos blocos 1 e 2 serão iguais ao peso destas.

Agora, um diagrama de corpo livre é construído para cada bloco e, assim, determina os ângulos que compõem o sistema.

Sabe-se que a corda que vai de A para B tem um ângulo de 300 , de modo que o ângulo que complementa é igual a 600 . Dessa forma você começa a 900.

Por outro lado, onde o ponto A está localizado, há um ângulo de 600 em relação à horizontal; o ângulo entre a vertical e TUm será = 1800 - 600 - 900 = 300.

Assim, obtém-se que o ângulo entre AB e BC = (300 + 900 + 300) e (60)0 + 900 + 60) = 1500 e 2100. Ao somar verifica-se que o ângulo total é 3600.

Aplicando o teorema de Lamy você precisa:

TBC/ sen 1500 = PUm/ sen 1500

TBC = PUm

TBC = 240N.

No ponto C, onde está o bloco, temos o ângulo entre a horizontal e a cadeia BC é 300, então o ângulo complementar é igual a 600.

Por outro lado, você tem um ângulo de 600 no ponto CD; o ângulo entre a vertical e TC será = 1800 - 900 - 600 = 300.

Isso resulta no ângulo no bloco K sendo = (300 + 600)

Aplicando o teorema de Lamy no ponto C:

TBC/ sen 1500 = B / sin 900

Q = TBC * 90 sen0 / sen 1500

Q = 240 N * 1 / 0,5

Q = 480 N.

Referências

  1. Andersen, K. (2008). A Geometria de uma Arte: A História da Teoria Matemática da Perspectiva de Alberti a Monge. Springer Science & Business Media.
  2. Ferdinand P. Beer, E. R. (2013). Mecânica para engenheiros, estática. McGraw-Hill Interamericana.
  3. Francisco Español, J. C. (2015). Resolvidos problemas de álgebra linear. Ediciones Paraninfo, S.A.
  4. Graham, J. (2005). Força e Movimento Houghton Mifflin Harcourt.
  5. Harpe, P. d. (2000). Tópicos em Teoria de Grupos Geométricos. Imprensa da Universidade de Chicago.
  6. P. Para Tipler e G. M. (2005). Física para Ciência e Tecnologia. Volume I. Barcelona: Reverté S.A.