Teorema de Moivre Em que consiste, demonstração e exercícios resolvidos

O Teorema de Moivre aplica processos fundamentais de álgebra, como poderes e extração de raízes em números complexos. O teorema foi enunciado pelo renomado matemático francês Abraham de Moivre (1730), que associou números complexos à trigonometria.

Abraham Moivre fez esta associação através das expressões da mama e cosseno. Este matemático gerou um tipo de fórmula através da qual é possível levantar um número complexo z para o poder n, que é um número inteiro positivo maior ou igual a 1.

Índice

• 1 O que é o teorema de Moivre?
• 2 demonstração
  • 2.1 base indutiva
  • 2.2 Hipótese indutiva
  • 2.3 Verificação
  • 2.4 Inteiro negativo
• 3 exercícios resolvidos
  • 3.1 Cálculo de poderes positivos
  • 3.2 Cálculo de poderes negativos
• 4 referências

Qual é o teorema de Moivre?

O teorema de Moivre afirma o seguinte:

Se você tem um número complexo na forma polar z = r_Ɵ, onde r é o módulo do número complexo z, e o ângulo Ɵ é chamado de amplitude ou argumento de qualquer número complexo com 0 ≤ Ɵ ≤ 2π, para calcular sua enésima potência não será necessário multiplicá-lo por si mesmo n-times; isto é, não é necessário fazer o seguinte produto:

Zⁿ = z _* z _* z_{*… *} z = r_{Ɵ *} r_{Ɵ *} r_{Ɵ *… *} r_Ɵ n vezes.

Ao contrário, o teorema diz que, ao escrever z em sua forma trigonométrica, para calcular a enésima potência, proceda da seguinte forma:

Se z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) então zⁿ = rⁿ (cos n * Ɵ + i _* sin n * Ɵ).

Por exemplo, se n = 2, então z² = r²[cos 2 (Ɵ) + i sen 2 (Ɵ)]. Se você tem que n = 3, então z³ = z² _* z. Além disso:

z³ = r²[cos 2 (Ɵ) + i sin 2 (Ɵ)] _* r [cos 2 (Ɵ) + i sen 2 (Ɵ)] = r³[cos 3 (Ɵ) + i sen 3 (Ɵ)].

Desta forma, as razões trigonométricas do seno e cosseno podem ser obtidas para múltiplos de um ângulo, desde que as relações trigonométricas do ângulo sejam conhecidas.

Da mesma forma, pode ser usado para encontrar expressões mais precisas e menos confusas para a enésima raiz de um número complexo z, de modo que zⁿ = 1.

Para provar o teorema de Moivre, o princípio da indução matemática é usado: se um inteiro "a" tem uma propriedade "P", e se para qualquer número inteiro "n" maior que "a" que tem a propriedade "P" é satisfaz que n + 1 também tem a propriedade "P", portanto, todos os inteiros maiores ou iguais a "a" têm a propriedade "P".

Demonstração

Desta forma, a prova do teorema é feita com os seguintes passos:

Base indutiva

Primeiro, é verificado para n = 1.

Como z¹ = (r (cos Ɵ + i _* sen Ɵ))¹ = r¹ (cos Ɵ + i _* sen Ɵ)¹ = r¹ [cos (1_* Ɵ) + i _* sen (1_* Ɵ)], temos que para n = 1 o teorema é cumprido.

Hipótese indutiva

Assume-se que a fórmula é verdadeira para algum inteiro positivo, isto é, n = k.

z^k = (r (cos Ɵ + i _* sen Ɵ))^k = r^k (cos k Ɵ + i _* sen k Ɵ).

Verificação

Está provado que é verdade para n = k + 1.

Como z^{k + 1}= z^k _* z, depois z^{k + 1} = (r (cos Ɵ + i _* sen Ɵ))^{k + 1} = r^k (cos kƟ + i _* sen kƟ) _*  r (cos Ɵ + i_* senƟ).

Então as expressões são multiplicadas:

z^{k + 1} = r^{k + 1}((cos kƟ)_*(cosƟ) + (cos kƟ)_*(eu_*senƟ) + (i _* sen kƟ)_*(cosƟ) + (i _* sen kƟ)_*(eu_* senƟ)).

Por um momento, o fator r é ignorado^{k + 1}e o fator comum i é removido:

(cos kƟ)_*(cosƟ) + i (cos kƟ)_*(sen) + i (sen kƟ)_*(cosƟ) + i²(sen kƟ)_*(senƟ)

Como eu² = -1, nós substituímos na expressão e obtemos:

(cos kƟ)_*(cosƟ) + i (cos kƟ)_*(sen) + i (sen kƟ)_*(cosƟ) - (sen kƟ)_*(senƟ)

Agora o real e a parte imaginária são ordenados:

(cos kƟ)_*(cosƟ) - (sen kƟ)_*(sen) + i [(sen kƟ)_*(cosƟ) + (cos kƟ)_*(senƟ)].

Para simplificar a expressão, são aplicadas as identidades trigonométricas da soma dos ângulos para o cosseno e o pecado, que são:

cos (A + B) = cos A _* cos B - sen A _* sen B.

pecado (A + B) = pecado A _* cos B - cos A _* cos B.

Neste caso, as variáveis ​​são os ângulos Ɵ e kƟ. Aplicando as identidades trigonométricas, temos:

cos kƟ _* cosƟ -  sen kƟ _* senƟ = cos (k + + Ɵ)

sen kƟ _* cosƟ + cos kƟ _* senƟ = sen (k + + Ɵ)

Dessa forma, a expressão permanece:

z^{k + 1} = r^{k + 1} (cos (k + +) + i _* sen (k + + Ɵ))

z^{k + 1} = r^{k + 1}(cos [(k +1) Ɵ] + i _* sin [(k + 1)]].

Assim, pode ser mostrado que o resultado é verdadeiro para n = k + 1. Pelo princípio da indução matemática, conclui-se que o resultado é verdadeiro para todos os inteiros positivos; isto é, n ≥ 1.

Inteiro negativo

O teorema de Moivre também é aplicado quando n ≤ 0. Considere um inteiro negativo "n"; então "n" pode ser escrito como "-m", isto é, n = -m, onde "m" é um inteiro positivo. Portanto:

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = (cos Ɵ + i _* sen Ɵ) ^-m

Para obter o expoente "m" de maneira positiva, a expressão é escrita ao contrário:

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = 1 ÷ (cos Ɵ + i _* sen Ɵ) ^m

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = 1 ÷ (cos m + i _* sen mƟ)

Agora, é usado que se z = a + b * i é um número complexo, então 1 ÷ z = a-b * i. Portanto:

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = cos (mƟ) - i _* sen (mƟ).

Usando cos (x) = cos (-x) e que -sen (x) = sin (-x), temos que:

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = [cos (mƟ) - i _* sen (mƟ)]

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = cos (- mƟ) + i _* sen (-mƟ)

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = cos (nƟ) - i _* sin (n).

Dessa forma, podemos dizer que o teorema se aplica a todos os valores inteiros de "n".

Exercícios resolvidos

Cálculo de poderes positivos

Uma das operações com números complexos em sua forma polar é a multiplicação entre duas delas; Nesse caso, os módulos são multiplicados e os argumentos são adicionados.

Se você tem dois números complexos z₁ ez₂ e você quer calcular (z₁* z₂)²em seguida, proceda da seguinte forma:

z₁z₂ = [r₁ (cos Ɵ₁ + i _* sen Ɵ₁)] * [r₂ (cos Ɵ₂ + i _* sen Ɵ₂)]

A propriedade distributiva é aplicada:

z₁z₂ = r₁ r₂ (cos Ɵ_1* cos Ɵ₂ + i _* cos Ɵ_1* eu _* sen Ɵ₂ + i _* sen Ɵ_1* cos Ɵ₂ + i²_* sen Ɵ_1* sen Ɵ₂).

Eles são agrupados, tomando o termo "i" como um fator comum de expressões:

z₁z₂ = r₁ r₂ [cos Ɵ_1* cos Ɵ₂ + i (cos Ɵ_1* sen Ɵ₂ + sen Ɵ_1* cos Ɵ₂) + i²_* sen Ɵ_1* sen Ɵ₂]

Como eu² = -1, é substituído na expressão:

z₁z₂ = r₁ r₂ [cos Ɵ_1* cos Ɵ₂ + i (cos Ɵ_1* sen Ɵ₂ + sen Ɵ_1* cos Ɵ₂) - sen Ɵ_1* sen Ɵ₂]

Os termos reais são reagrupados com real e imaginário com imaginário:

z₁z₂ = r₁ r₂ [(cos Ɵ_1* cos Ɵ₂ - sen Ɵ_1* sen Ɵ₂) + i (cos Ɵ_1* sen Ɵ₂ + sen Ɵ_1* cos Ɵ₂)]

Finalmente, as propriedades trigonométricas são aplicadas:

z₁z₂ = r₁ r₂ [cos (Ɵ₁ + Ɵ₂) + i sen (Ɵ₁ + Ɵ₂)].

Em conclusão:

(z₁* z₂)²= (r₁ r₂ [cos (Ɵ₁ + Ɵ₂) + i sen (Ɵ₁ + Ɵ₂)])²

= r₁²r₂²[cos 2 * (Ɵ₁ + Ɵ₂) + i sen 2 * (Ɵ₁ + Ɵ₂)].

Exercício 1

Escreva o número complexo na forma polar se z = - 2 -2i. Então, usando o teorema de Moivre, calcule z⁴.

Solução

O número complexo z = -2 -2i é expresso na forma retangular z = a + bi, onde:

a = -2.

b = -2

Sabendo que a forma polar é z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ), você precisa determinar o valor do módulo "r" e o valor do argumento "Ɵ". Como r = √ (a² + b²), os valores dados são substituídos:

r = √ (a² + b²) = √ ((- 2) ² + (- 2) ²)

= √(4+4)

= √(8)

= √(4*2)

= 2√2.

Então, para determinar o valor de "Ɵ", é aplicada a forma retangular deste, que é dada pela fórmula:

tan Ɵ = b ÷ a

tan Ɵ = (-2) ÷ (-2) = 1.

Desde tan (Ɵ) = 1 e você tem que <0, então você tem que:

Ɵ = arctan (1) + Π.

= Π/4 + Π

= 5Π/4.

Como o valor de "r" e "Ɵ" já foi obtido, o número complexo z = -2 -2i pode ser expresso na forma polar substituindo os valores:

z = 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sen (5/4)).

Agora o teorema de Moivre é usado para calcular z⁴:

z⁴= 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sen (5Π / 4))⁴

= 32 (cos (5Π) + i _* sen (5Π)).

Exercício 2

Encontre o produto de números complexos expressando-o em sua forma polar:

z1 = 4 (cos 50^o + i_* 50 sen^o)

z2 = 7 (cos 100^o + i_* 100 sen^o).

Então, calcule (z1 * z2) ².

Solução

Primeiro o produto dos números dados é formado:

z₁ z₂ = [4 (cos 50^o + i_* 50 sen^o)] * [7 (cos 100^o + i_* 100 sen^o)]

Em seguida, os módulos são multiplicados juntos e os argumentos são adicionados:

z₁ z₂ = (4 _* 7)_* [cos (50^o + 100^o) + i_* sen (50^o + 100^o)]

A expressão é simplificada:

z₁ z₂ = 28 _* (cos 150^o + (i_* 150 sen^o).

Finalmente, o teorema de Moivre é aplicado:

(z1 * z2) ² = (28 _* (cos 150^o + (i_* 150 sen^o)) ² = 784 (cos 300^o + (i_* 300 sen^o)).

Cálculo de poderes negativos

Para dividir dois números complexos z₁ ez₂ em sua forma polar, o módulo é dividido e os argumentos são subtraídos. Assim, o quociente é z₁ ÷ z₂ e é expresso da seguinte forma:

z₁ ÷ z₂ = r1 / r2 ([cos (Ɵ₁- Ɵ₂) + i sen (Ɵ₁ - Ɵ₂)]).

Como no caso anterior, se você quiser calcular (z1 ÷ z2) ³ primeiro a divisão é feita e então o teorema de Moivre é usado.

Exercício 3

Dado:

z1 = 12 (cos (3π / 4) + i * sin (3π / 4)),

z2 = 4 (cos (π / 4) + i * sin (π / 4)),

calcular (z1 ÷ z2) ³.

Solução

Seguindo os passos descritos acima, pode-se concluir que:

(z1 ÷ z2) ³ = ((12/4) (cos (3π / 4 - π / 4) + i * sen (3π / 4 - π / 4))) ³

= (3 (cos (π / 2) + i * sin (π / 2))) ³

= 27 (cos (3π / 2) + i * sin (3π / 2)).

Referências

1. Arthur Goodman, L. H. (1996). Álgebra e trigonometria com geometria analítica. Educação Pearson.
2. Croucher, M. (s.f.). Do Teorema de Moivre para Identidades Trig. Wolfram Demonstrations Project.
3. Hazewinkel, M. (2001). Enciclopédia de Matemática.
4. Max Peters, W. L. (1972). Álgebra e trigonometria
5. Pérez, C. D. (2010). Educação Pearson.
6. Stanley, G. (s.f.). Álgebra Linear. Graw-Hill.
7. M. (1997). Pré-cálculo Educação Pearson.