Definição de Laplace transformada, história, o que é isso, propriedades



O transformado de Laplace Tem sido nos últimos anos de grande importância em estudos de engenharia, matemática, física, entre outras áreas científicas, já que além de ser de grande interesse no teórico, proporciona uma maneira simples de resolver problemas que vêm da ciência e engenharia. .

Originalmente, a transformada de Laplace foi introduzida por Pierre-Simon Laplace em seu estudo da teoria da probabilidade e foi inicialmente tratada como um objeto matemático de interesse meramente teórico.

As aplicações atuais surgem quando vários matemáticos tentaram dar uma justificativa formal às "regras operacionais" usadas por Heaviside no estudo de equações da teoria eletromagnética.

Índice

  • 1 definição
    • 1.1 Exemplos
    • 1.2 Teorema (condições suficientes para a existência)
    • 1.3 Transformada de Laplace de algumas funções básicas
  • 2 História
    • 2,1 1782, Laplace
    • 2,2 Oliver Heaviside
  • 3 Propriedades
    • 3.1 Linearidade
    • 3.2 Primeiro Teorema da Tradução
    • 3.3 Segundo Teorema da Tradução
    • 3.4 Mudança de escala
    • 3.5 ransformação de Laplace dos derivados
    • 3.6 Transformada de Laplace de integrais
    • 3.7 Multiplicação por tn
    • 3,8 divisão por t
    • 3.9 Funções Periódicas
    • 3.10 Comportamento de F (s) quando s tende ao infinito
  • 4 transformações inversas
    • 4.1 Exercício
  • 5 Aplicações da transformada de Laplace
    • 5.1 Equações Diferenciais
    • 5.2 Sistemas de equações diferenciais
    • 5.3 Mecânica e circuitos elétricos
  • 6 referências

Definição

Seja f uma função definida para t ≥ 0. A transformada de Laplace é definida da seguinte forma:

Diz-se que a Transformada de Laplace existe se a integral anterior converge, caso contrário, diz-se que a transformada de Laplace não existe.

Em geral, para denotar a função que se quer transformar, são usadas letras minúsculas e a letra maiúscula corresponde à sua transformação. Assim teremos:

Exemplos

Considere a função constante f (t) = 1. Temos que sua transformação é:

Sempre que a integral converge, sempre é fornecido que s> 0. Caso contrário, s <0, a integral diverge.

Seja g (t) = t. Sua transformada de Laplace é dada por

Integrando em partes e sabendo que você-st tende a 0 quando t tende ao infinito e s> 0, junto com o exemplo anterior nós temos que:

A transformada pode ou não existir, por exemplo, para a função f (t) = 1 / t a integral que define sua transformada de Laplace não converge e, portanto, sua transformação não existe.

Condições suficientes para garantir que a transformada de Laplace de uma função f existe, é que f é contínua em partes para t ≥ 0 e é de ordem exponencial.

Diz-se que uma função é contínua em partes para t ≥ 0, quando para qualquer intervalo [a, b] com a> 0, existe um número finito de pontos tk, onde f tem descontinuidades e é contínuo em cada subintervalo [tk-1tk].

Por outro lado, diz-se que uma função é de ordem exponencial c se houver constantes reais M> 0, c e T> 0 tais que:

Como exemplos nós temos que f (t) = t2 é de ordem exponencial, desde | t2| <e3t para todos os t> 0.

De uma forma formal, temos o seguinte teorema

Teorema (condições suficientes para a existência)

Se f é uma função contínua por parte para t> 0 e de ordem exponencial c, então existe a transformada de Laplace para s> c.

É importante ressaltar que esta é uma condição de suficiência, ou seja, pode ser o caso de existir uma função que não atenda a essas condições e mesmo assim sua transformada de Laplace existe.

Um exemplo disso é a função f (t) = t-1/2 que não é contínua em partes para t ≥ 0 mas sua transformada de Laplace existe.

Transformada de Laplace de algumas funções básicas

A tabela a seguir mostra as transformações de Laplace das funções mais comuns.

História

A transformada de Laplace deve seu nome a Pierre-Simon Laplace, matemático e astrônomo teórico francês que nasceu em 1749 e morreu em 1827. Sua fama era tal que ele era conhecido como o Newton da França.

Em 1744 Leonard Euler dedicou seus estudos a integrais com a forma

como soluções de equações diferenciais ordinárias, mas abandonou rapidamente esta investigação. Mais tarde, Joseph Louis Lagrange, que muito admirava Euler, também investigou esse tipo de integrais e as relacionou com a teoria da probabilidade.

1782, Laplace

No ano de 1782, Laplace começou a estudar essas integrais como soluções para equações diferenciais e, segundo os historiadores, em 1785 decidiu reformular o problema, que mais tarde deu origem às transformações de Laplace como são entendidas hoje.

Tendo sido introduzido no campo da teoria da probabilidade, foi de pouco interesse para os cientistas da época e só foi visto como um objeto matemático de interesse teórico apenas.

Oliver Heaviside

Foi em meados do século XIX, quando o engenheiro inglês Oliver Heaviside descobriu que os operadores diferenciais podem ser tratados como variáveis ​​algébricas, dando assim sua aplicação moderna às transformadas de Laplace.

Oliver Heaviside era um físico inglês, engenheiro elétrico e matemático que nasceu em 1850 em Londres e morreu em 1925.Enquanto tentava resolver problemas de equações diferenciais aplicadas à teoria da vibração e usando os estudos de Laplace, ele começou a moldar as aplicações modernas das transformadas de Laplace.

Os resultados exibidos por Heaviside espalharam-se rapidamente por toda a comunidade científica da época, mas como seu trabalho não era rigoroso, foi rapidamente criticado por matemáticos mais tradicionais.

No entanto, a utilidade do trabalho de Heaviside na solução de equações físicas tornou seus métodos populares entre físicos e engenheiros.

Apesar destes contratempos e após algumas décadas de tentativas fracassadas, no início do século XX uma justificativa rigorosa poderia ser dada às regras operacionais dadas pela Heaviside.

Essas tentativas foram recompensadas graças aos esforços de diversos matemáticos como Bromwich, Carson, van der Pol, entre outros.

Propriedades

Entre as propriedades da transformada de Laplace, destacam-se:

Linearidade

Sejam c1 e c2 constantes e f (t) e g (t) funções cujas transformações de Laplace são F (s) e G (s) respectivamente, então temos que:

Devido a essa propriedade, diz-se que a transformada de Laplace é um operador linear.

Exemplo

Primeiro teorema da tradução

Se acontecer que:

E 'a' é qualquer número real, então:

Exemplo

Como a transformada de Laplace de cos (2t) = s / (s ^ 2 + 4) então:

Segundo teorema da tradução

Sim

Então

Exemplo

Se f (t) = t ^ 3, então F (s) = 6 / s ^ 4. E, portanto, a transformação de

é G (s) = 6e-2s/ s ^ 4

Mudança de escala

Sim

E 'a' é um real diferente de zero, temos que

Exemplo

Como a transformação de f (t) = sin (t) é F (s) = 1 / (s ^ 2 + 1), tem que ser

ransformação de Laplace de derivados

Se f, f ', f ", ..., fn) são contínuos para t ≥ 0 e são de ordem exponencial efn)(t) é contínua em partes para t ≥ 0, então

Transformada de Laplace de integrais

Sim

Então

Multiplicação por tn

Se tivermos que

Então

Divisão por t

Se tivermos que

Então

Funções periódicas

Seja f uma função periódica com o período T> 0, isto é, f (t + T) = f (t), então

Comportamento de F (s) quando s tende ao infinito

Se f é contínuo em partes e de ordem exponencial e

Então

Transformações inversas

Quando aplicamos a transformada de Laplace a uma função f (t) obtemos F (s), que representa essa transformada. Da mesma forma, podemos dizer que f (t) é a transformada inversa de Laplace de F (s) e é escrita como

Sabemos que as transformadas de Laplace de f (t) = 1 e g (t) = t são F (s) = 1 / se G (s) = 1 / s2 respectivamente, portanto, temos que

Algumas transformações inversas comuns de Laplace são as seguintes

Além disso, a transformada inversa de Laplace é linear, ou seja, cumpre-se que

Exercício

Encontrar

Para resolver este exercício, devemos combinar a função F (s) com uma das tabelas anteriores. Neste caso, se tomarmos n + 1 = 5 e usarmos a propriedade de linearidade da transformada inversa, multiplicamos e dividimos por 4! Obtendo

Para a segunda transformação inversa aplicamos frações parciais para reescrever a função F (s) e depois a propriedade da linearidade, obtendo

Como podemos ver a partir desses exemplos, é comum que a função F (s) avaliada não concorde com nenhuma das funções dadas na tabela. Para esses casos, conforme observado, é suficiente reescrever a função até que ela atinja o formato apropriado.

Aplicações da transformada de Laplace

Equações diferenciais

A principal aplicação das transformadas de Laplace é resolver equações diferenciais.

Usando a propriedade da transformação de um derivado é claro que

E das derivadas n-1 avaliadas em t = 0.

Esta propriedade torna a transformação muito útil para resolver problemas de valor inicial, onde equações diferenciais com coeficientes constantes estão envolvidas.

Os exemplos a seguir mostram como usar a transformada de Laplace para resolver equações diferenciais.

Exemplo 1

Dado o seguinte problema de valor inicial

Use a transformada de Laplace para encontrar a solução.

Aplicamos a transformada de Laplace a cada membro da equação diferencial

Para a propriedade da transformação de um derivado, temos

Desenvolvendo toda a expressão e limpando Y (s) nós somos deixados

Usando frações parciais para reescrever o lado direito da equação, obtemos

Finalmente, nosso objetivo é encontrar uma função y (t) que satisfaça a equação diferencial. Usando a transformada inversa de Laplace nos dá o resultado

Exemplo 2

Resolver

Como no caso anterior, aplicamos a transformação em ambos os lados da equação e separamos termo por termo.

Desta forma, temos como resultado

Substituindo com os valores iniciais dados e limpando Y (s)

Usando frações simples, podemos reescrever a equação da seguinte forma

E aplicar a transformada inversa de Laplace nos dá como resultado

Nestes exemplos pode-se chegar à conclusão errada de que este método não é muito melhor do que os métodos tradicionais para resolver equações diferenciais.

As vantagens oferecidas pela transformada de Laplace são que não é necessário usar variação de parâmetro ou se preocupar com os vários casos do método de coeficiente indeterminado.

Além de resolver problemas de valor inicial por este método, desde o início usamos as condições iniciais, portanto não é necessário realizar outros cálculos para encontrar a solução específica.

Sistemas de equações diferenciais

A transformada de Laplace também pode ser usada para encontrar soluções para equações diferenciais ordinárias simultâneas, como mostra o exemplo a seguir.

Exemplo

Resolver

Com as condições iniciais x (0) = 8 e e (0) = 3.

Se tivermos que

Então

Resolvendo os resultados em nós

E quando aplicamos a transformada inversa de Laplace, temos

Mecânica e circuitos elétricos

A transformada de Laplace é de grande importância na física, principalmente tendo aplicações para mecânica e circuitos elétricos.

Um circuito elétrico simples é composto dos seguintes elementos

Um interruptor, uma bateria ou fonte, um indutor, um resistor e um capacitor. Quando o interruptor é fechado, é produzida uma corrente elétrica denotada por i (t). A carga do capacitor é denotada por q (t).

Pela segunda lei de Kirchhoff, a tensão produzida pela fonte E no circuito fechado deve ser igual à soma de cada uma das quedas de tensão.

A corrente elétrica i (t) está relacionada à carga q (t) no capacitor por i = dq / dt. Por outro lado, a queda de tensão é definida em cada um dos elementos da seguinte forma:

A queda de tensão em uma resistência é iR = R (dq / dt)

A queda de tensão em um indutor é L (di / dt) = L (d2q / dt2)

A queda de tensão em um capacitor é q / C

Com esses dados e aplicando a segunda lei de Kirchhoff ao circuito simples fechado, obtém-se uma equação diferencial de segunda ordem que descreve o sistema e nos permite determinar o valor de q (t).

Exemplo

Um indutor, um capacitor e um resistor são conectados a uma bateria E, como mostrado na figura. O indutor é de 2 henries, o capacitor de 0,02 farads e a resistência de 16 onhm. No tempo t = 0 o circuito está fechado. Encontre a carga e a corrente a qualquer momento t> 0 se E = 300 volts.

Nós temos a equação diferencial que descreve este circuito é o seguinte

Onde as condições iniciais são q (0) = 0, i (0) = 0 = q '(0).

Aplicando a transformada de Laplace, conseguimos

E limpando Q (t)

Então, aplicando a transformada inversa de Laplace, temos

Referências

  1. G. Holbrook, J. (1987). Transformada de Laplace para engenheiros eletrônicos. Cal.
  2. Ruiz, L. M., & Hernandez, M. P. (2006). Equações diferenciais e transformada de Laplace com aplicações. Editorial UPV.
  3. Simmons, G. F. (1993). Equações diferenciais com aplicações e notas históricas. McGraw-Hill.
  4. Spiegel, M. R. (1991). Transformado de Laplace. McGraw-Hill.
  5. Zill, D.G. & Cullen, M. R. (2008). Equações diferenciais com problemas de valores na fronteira. Cengage Learning Editores, S.A.