Trinomial da Forma x ^ 2 + bx + c (com Exemplos)

Antes de aprender a resolver o trinômio da forma x ^ 2 + bx + c, e mesmo antes de conhecer o conceito de trinômio, é importante conhecer duas noções essenciais; ou seja, os conceitos de monomial e polinomial. Um monômio é uma expressão do tipo a * xⁿ, onde a é um número racional, n é um número natural e x é uma variável.

Um polinômio é uma combinação linear de monômios da forma_n* xⁿ+ a_n-1* x^n-1+ ... + a₂* x²+ a₁* x + a₀, onde cada_eu, com i = 0, ..., n, é um número racional, n é um número natural e a_n é diferente de zero. Neste caso, diz-se que o grau do polinômio é n.

Um polinômio formado pela soma de apenas dois termos (dois monômeros) de diferentes graus é conhecido como binômio.

Índice

• 1 trinômios
  • 1.1 trinômio quadrado perfeito
• 2 Características dos trinômios de grau 2
  • 2.1 quadrado perfeito
  • 2.2 Fórmula Solvente
  • 2.3 Interpretação geométrica
  • 2.4 Factoring de trinômios
• 3 exemplos
  • 3.1 Exemplo 1
  • 3,2 Exemplo 2
• 4 referências

Trinomials

Um polinômio formado pela soma de apenas três termos (três monômeros) de diferentes graus é conhecido como trinômio. A seguir, exemplos de trinômios:

• x³+ x²+ 5x
• 2x⁴-x³+5
• x²+ 6x + 3

Existem vários tipos de trinômios. Destes destaca o trinômio quadrado perfeito.

Trinômio quadrado perfeito

Um trinômio quadrado perfeito é o resultado de elevar um binômio ao quadrado. Por exemplo:

• (3x-2)²= 9x²-12x + 4
• (2x³+ y)²= 4x⁶+ 4x³y + y²
• (4x²-2y⁴)²= 16x⁴-16x²e⁴+ 4a⁸
• 1 / 16x²e⁸-1 / 2xy⁴z + z²= (1 / 4xy⁴)²-2 (1 / 4xy⁴) z + z²= (1 / 4xy⁴-z)²

Características dos trinômios de grau 2

Quadrado perfeito

Em geral, um trinômio do machado de forma²+ bx + c é um quadrado perfeito se seu discriminante for igual a zero; isto é, se b²-4ac = 0, pois neste caso terá apenas uma raiz e pode ser expressa na forma a (x-d)²= (√a (x-d))², onde d é a raiz já mencionada.

Uma raiz de um polinômio é um número no qual o polinômio se torna zero; em outras palavras, um número que, substituindo-o em x na expressão do polinômio, resulta em zero.

Fórmula Solvente

Uma fórmula geral para calcular as raízes de um polinômio do segundo grau do machado do formulário²+ bx + c é a fórmula do resolvedor, que afirma que essas raízes são dadas por (-b ± √ (b²-4ac)) / 2a, onde b²-4ac é conhecido como o discriminante e é geralmente denotado por Δ. Desta fórmula segue-se aquele machado²+ bx + c tem:

- Duas raízes reais diferentes se Δ> 0.

- Uma única raiz real se Δ = 0.

- Não tem raiz real se Δ <0.

A seguir, apenas os trinômios da forma x serão considerados²+ bx + c, onde claramente c deve ser um número diferente de zero (caso contrário, seria um binômio). Esse tipo de trinômio tem certas vantagens ao fatorar e operar com eles.

Interpretação geométrica

Geometricamente, o trinômio x²+ bx + c é uma parábola que se abre para cima e tem o vértice no ponto (-b / 2, -b²/ 4 + c) do plano cartesiano porque x²+ bx + c = (x + b / 2)²-b²/ 4 + c.

Esta parábola corta o eixo Y no ponto (0, c) e o eixo X nos pontos (d₁, 0) e (d)₂0); então, d₁ e d₂ eles são as raízes do trinômio. Pode acontecer que o trinômio tenha uma única raiz d, caso em que o único corte com o eixo X seria (d, 0).

Também pode acontecer que o trinômio não tenha raízes reais, caso em que não cortaria o eixo X em nenhum ponto.

Por exemplo, x²+ 6x + 9 = (x + 3)²-9 + 9 = (x + 3)² é a parábola com vértice em (-3,0), que corta o eixo Y em (0,9) e o eixo X em (-3,0).

Fatorização trinômica

Uma ferramenta muito útil ao trabalhar com polinômios é o factoring, que é expressar um polinômio como um produto de fatores. Em geral, dado um trinômio da forma x²+ bx + c, se isso tem duas raízes diferentes d₁ e d₂, pode ser fatorado como (x-d)₁) (x-d)₂).

Se você tem apenas uma raiz d, você pode fatorar como (x-d) (x-d) = (x-d)², e se não tiver raízes reais, é o mesmo; neste caso, ele não suporta o factoring como um produto de outros fatores além de si mesmo.

Isso significa que, conhecendo as raízes de um trinômio da forma já estabelecida, sua fatoração pode ser facilmente expressa, e como já mencionado, essas raízes sempre podem ser determinadas usando o resolvedor.

No entanto, há uma quantidade significativa deste tipo de trinomia que pode ser fatorada sem precisar conhecer suas raízes de antemão, o que simplifica o trabalho.

As raízes podem ser determinadas diretamente da fatoração sem a necessidade de usar a fórmula do resolvedor; estes são os polinômios da forma x² + (a + b) x + ab. Neste caso, temos:

x²+ (a + b) x + ab = x²+ ax + bx + ab = x (x + a) + b (x + a) = (x + b) (x + a).

Daqui é facilmente observado que as raízes são -a e -b.

Em outras palavras, dado um trinômio x²+ bx + c, se houver dois números uev que c = uv eb = u + v, então x²+ bx + c = (x + u) (x + v).

Isto é, dado um trinômio x²+ bx + c, primeiro verifique se existem dois números tais que multiplicados pelo termo independente (c) e adicionados (ou subtraídos, dependendo do caso), dê o termo que acompanha o x (b).

Não com todos os trinômios desta maneira, este método pode ser aplicado; onde você não pode, você vai para a resolução e aplica o supracitado.

Exemplos

Exemplo 1

Para fatorar o seguinte trinômio x²+ 3x + 2 procedemos da seguinte forma:

Você deve encontrar dois números de tal forma que, quando você os adiciona, o resultado é 3 e, ao multiplicá-los, o resultado é 2.

Após fazer uma inspeção, pode-se concluir que os números buscados são: 2 e 1. Portanto, x²+ 3x + 2 = (x + 2) (x + 1).

Exemplo 2

Para fatorar o trinômio x²-5x + 6 estão procurando dois números cuja soma é -5 e seu produto é 6. Os números que atendem a essas duas condições são -3 e -2. Portanto, a fatoração do trinômio dado é x²-5x + 6 = (x-3) (x-2).

Referências

1. Fontes, A. (2016). MATEMÁTICA BÁSICA. Uma introdução ao cálculo Lulu.com
2. Garo, M. (2014). Matemática: equações quadráticas: como resolver uma equação quadrática. Marilù Garo.
3. Haeussler, E.F., & Paul, R. S. (2003). Matemática para administração e economia. Educação Pearson.
4. Jiménez, J., Rofríguez, M., & Estrada, R. (2005). Matemática 1 SET. Limiar
5. Preciado, C. T. (2005). Curso de Matemática 3º. Editorial de progresso.
6. Rock, N. M. (2006). Álgebra eu é fácil! Tão fácil Team Rock Press.
7. Sullivan, J. (2006). Álgebra e trigonometria Educação Pearson.