Características do triângulo isósceles, fórmula e área, cálculo



Um triângulo isósceles É um polígono com três lados, onde dois deles têm a mesma medida e o terceiro lado uma medida diferente. Este último lado é chamado de base. Devido a esta característica, foi dado este nome, que em grego significa "pernas iguais"

Os triângulos são polígonos considerados os mais simples na geometria, porque são formados por três lados, três ângulos e três vértices. São aqueles que possuem o menor número de lados e ângulos em relação aos demais polígonos, porém seu uso é muito extenso.

Índice

  • 1 Características dos triângulos isósceles
    • 1.1 Componentes
  • 2 Imóveis
    • 2.1 ângulos internos
    • 2.2 Soma dos lados
    • 2.3 lados congruentes
    • 2.4 Ângulos congruentes
    • 2.5 Altura, mediana, bissetriz e bissetriz são coincidentes
    • 2,6 alturas relativas
    • 2.7 Orthocenter, baricentro, incentivo e circumcenter coincidem
  • 3 Como calcular o perímetro?
  • 4 Como calcular a altura?
  • 5 Como calcular a área?
  • 6 Como calcular a base do triângulo?
  • 7 exercícios
    • 7.1 Primeiro exercício
    • 7.2 Segundo exercício
    • 7.3 Terceiro exercício
  • 8 referências

Características dos triângulos isósceles

O triângulo isósceles foi classificado usando a medida de seus lados como um parâmetro, uma vez que dois de seus lados são congruentes (eles têm o mesmo comprimento).

De acordo com a amplitude dos ângulos internos, os triângulos isósceles são classificados como:

  • Triângulo isósceles retangulares: dois de seus lados são iguais. Um de seus ângulos é reto (90o) e os outros são os mesmos (45o cada um)
  • Triângulo de ângulo obtuso isósceles: dois de seus lados são iguais. Um de seus ângulos é obtuso (> 90o).
  • Triângulo angular agudo isósceles: dois de seus lados são iguais. Todos os ângulos são nítidos (<90o), onde dois têm a mesma medida.

Componentes

  • A mediana: é uma linha que sai do ponto médio de um lado e atinge o vértice oposto. As três medianas coincidem em um ponto chamado centrocentro ou centróide central.
  • A bissetriz: é um raio que divide o ângulo de cada vértice em dois ângulos de tamanho igual. É por isso que é conhecido como o eixo de simetria e este tipo de triângulos tem apenas um.
  • O mediatrix: é um segmento perpendicular ao lado do triângulo, que se origina no meio disso. Existem três mediatices em um triângulo e coincidem em um ponto chamado circumcenter.
  • A altura: é a linha que vai do vértice para o lado oposto e esta linha é perpendicular a esse lado. Todos os triângulos têm três alturas, que coincidem em um ponto chamado ortocentro.

Propriedades

Os triângulos isósceles são definidos ou identificados porque possuem várias propriedades que os representam, oriundos dos teoremas propostos pelos grandes matemáticos:

Ângulos internos

A soma dos ângulos internos é sempre igual a 180o.

Soma dos lados

A soma das medidas dos dois lados deve sempre ser maior que a medida do terceiro lado, a + b> c.

Lados congruentes

Os triângulos isósceles têm dois lados com a mesma medida ou comprimento; isto é, eles são congruentes e o terceiro lado é diferente destes.

Ângulos congruentes

Os triângulos isósceles são conhecidos como triângulos iso-angulares também, porque eles têm dois ângulos que têm a mesma medida (congruentes). Estes estão localizados na base do triângulo, opostos aos lados que têm o mesmo comprimento.

Por isso, o teorema que estabelece isso:

"Se um triângulo tem dois lados congruentes, os ângulos opostos a esses lados também serão congruentes." Portanto, se um triângulo é isósceles, os ângulos de suas bases são congruentes.

Exemplo:

A figura a seguir mostra um triângulo ABC. Ao traçar sua bissetriz desde o vértice do ângulo B até a base, o triângulo é dividido em dois triângulos iguais a BDA e BDC:

Assim, o ângulo do vértice B também foi dividido em dois ângulos iguais. A bissetriz é agora o lado (BD) comum entre esses dois novos triângulos, enquanto os lados AB e BC são os lados congruentes. Este é o caso do lado de congruência, ângulo, lado (LAL).

Isso mostra que os ângulos dos vértices A e C têm a mesma medida, assim como também pode ser mostrado que, como os triângulos BDA e BDC são congruentes, os lados AD e DC também são congruentes.

Altura, mediana, bissetriz e bissetriz são coincidentes

A linha traçada a partir do vértice oposto à base até o ponto médio da base do triângulo isósceles é ao mesmo tempo a altura, a mediana e a bissetriz, bem como a bissetriz relativa ao ângulo oposto da base.

Todos esses segmentos coincidem em um único que os representa.

Exemplo:

A figura a seguir mostra o triângulo ABC com um ponto médio M que divide a base em dois segmentos BM e CM.

Para desenhar um segmento a partir do ponto M ao vértice oposto, por meio de AM definição, o qual é relativo ao vértice A e o lado BC é obtido.

Como o segmento divide o triângulo ABC AM em dois triângulos iguais e AMB AMC, isso significa que no caso do lado lateral ângulo congruência e, por conseguinte, será também o BAC bissectriz AM.

É por isso que a bissetriz será sempre igual à mediana e vice-versa.

O segmento AM forma ângulos que possuem a mesma medida para os triângulos AMB e AMC; isto é, são complementares de tal maneira que a medida de cada um será:

Med. (AMB) + Med. (AMC) = 180o

2 * Med. (AMC) = 180o

Med. (AMC) = 180o ÷ 2

Med. (AMC) = 90o

Pode sabe que os ângulos formados pelo segmento de AM para a base do triângulo são recta, o que indica que o segmento é totalmente perpendicular à base.

Portanto, representa a altura e a bissetriz, sabendo que M é o ponto médio.

Portanto, a linha AM:

  • Representa a altura do BC.
  • É médio.
  • Está contido no mediatrix de BC.
  • É a bissetriz do ângulo do vértice

Alturas relativas

As alturas que são relativas aos lados iguais, têm a mesma medida também.

Como o triângulo isósceles tem dois lados iguais, suas duas alturas respectivas também serão iguais.

Orocentro, baricentro, incentivo e circumcenter coincidem

Como altura, bissectriz mediana bissector e sobre a base, são representados tanto por um único segmento, o ortocentro, e Incentro centróide Circumcenter ser colineares pontos, ou seja, eles estivessem na mesma linha:

Como calcular o perímetro?

O perímetro de um polígono é calculado pela soma dos lados.

Como neste caso o triângulo isósceles tem dois lados com a mesma medida, seu perímetro é calculado com a seguinte fórmula:

P = 2*(lado a) + (lado b).

Como calcular a altura?

A altura é a linha perpendicular à base, divide o triângulo em duas partes iguais, estendendo-se ao vértice oposto.

A altura representa a perna oposta (a), metade da base (b / 2) para a perna adjacente e o lado "a" representa a hipotenusa.

Usando o teorema de Pitágoras, você pode determinar o valor da altura:

um2 + b2 = c2

Onde:

um2 = altura (h).

b2 = b / 2.

c2 = lado a.

Substituindo estes valores no teorema de Pitágoras, e limpando a altura, temos:

h2 + (b / 2)2 = um2

h2 + b2 / 4 = um2

h2 = um2 - b2 / 4

h = √ (um2 - b2 / 4).

Se o ângulo formado pelos lados congruentes é conhecido, a altura pode ser calculada com a seguinte fórmula:

Como calcular a área?

A área dos triângulos é sempre calculada com a mesma fórmula, multiplicando a base pela altura e dividindo por dois:

Há casos em que apenas as medidas dos dois lados do triângulo e o ângulo formado entre eles são conhecidos. Neste caso, para determinar a área, é necessário aplicar as razões trigonométricas:

Como calcular a base do triângulo?

Como o triângulo isósceles tem dois lados iguais, para determinar o valor de sua base que você precisa saber pelo menos a medida da altura ou um de seus ângulos.

Conhecendo a altura, o teorema de Pitágoras é usado:

um2 + b2 = c2

Onde:

um2 = altura (h).

c2 = lado a.

b2 = b / 2, é desconhecido.

Nós limpamos b2 da fórmula e nós temos que:

b2 = a2 - c2

b = √ a2 - c2

Como esse valor corresponde a metade da base, ele deve ser multiplicado por dois para obter a medida completa da base do triângulo isósceles:

b = 2 * (√ a2 - c2)

No caso em que só é conhecido valor lados iguais e o ângulo entre estes, trigonometria é aplicada através da marcação de uma linha a partir do vértice para a base que divide o triângulo isósceles em dois triângulos.

Desta forma, metade da base é calculada com:

Também é possível que apenas o valor da altura e do ângulo do vértice que é oposto à base seja conhecido. Nesse caso, por trigonometria, a base poderia ser determinada:

Exercícios

Primeiro exercício

Encontre a área do triângulo isósceles ABC, sabendo que dois dos seus lados medem 10 cm e o terceiro lado mede 12 cm.

Solução

Para encontrar a área do triângulo é necessário calcular a altura usando a fórmula da área que está relacionada ao teorema de Pitágoras, já que o valor do ângulo formado entre os lados iguais não é conhecido.

Temos os seguintes dados do triângulo isósceles:

  • Lados iguais (a) = 10 cm.
  • Base (b) = 12 cm.

Os valores na fórmula são substituídos:

Segundo exercício

O comprimento dos dois lados iguais de um triângulo isósceles mede 42 cm, a união desses lados formando um ângulo de 130o. Determine o valor do terceiro lado, a área desse triângulo e o perímetro.

Solução

Neste caso, as medições dos lados e o ângulo entre elas são conhecidas.

Para conhecer o valor do lado ausente, isto é, a base desse triângulo, traçamos uma linha perpendicular a ele, dividindo o ângulo em duas partes iguais, uma para cada triângulo retângulo formado.

  • Lados iguais (a) = 42 cm.
  • Ângulo (Ɵ) = 130o

Agora, por trigonometria, calcula-se o valor da metade da base, que corresponde a metade da hipotenusa:

Para calcular a área é necessário conhecer a altura daquele triângulo que pode ser calculado por trigonometria ou pelo teorema de Pitágoras, agora que o valor da base já foi determinado.

Por trigonometria será:

O perímetro é calculado:

P = 2*(lado a) + (lado b).

P = 2* (42 cm) + (76 cm)

P = 84 cm + 76 cm

P = 160 cm.

Terceiro exercício

Calcule os ângulos internos do triângulo isósceles, sabendo que o ângulo da base é = 55o

Solução

Para encontrar os dois ângulos faltantes (Ê e Ô) é necessário lembrar duas propriedades dos triângulos:

  • A soma dos ângulos internos de cada triângulo será sempre = 180o:

 + Ê + Ô = 180 o

  • Em um triângulo isósceles, os ângulos da base são sempre congruentes, ou seja, eles têm a mesma medida, portanto:

 = Ô

Ê = 55o

Para determinar o valor do ângulo Ê, substitua os valores dos outros ângulos na primeira regra e apague Ê:

55o + 55o + Ô= 180 o

110 o + Ô = 180 o

Ô = 180 o - 110 o

Ô = 70 o.

Referências

  1. Álvarez, E. (2003). Elementos de geometria: com numerosos exercícios e geometria da bússola. Universidade de Medellín.
  2. Álvaro Rendón, A. R. (2004). Desenho Técnico: caderno de atividades.
  3. Angel, A. R. (2007). Álgebra Elementar Educação Pearson.
  4. Arthur Goodman, L. H. (1996). Álgebra e trigonometria com geometria analítica. Educação Pearson.
  5. Baldor, A. (1941). Álgebra Havana: Cultura.
  6. José Jiménez, L. J. (2006). Matemática 2.
  7. Tuma, J. (1998). Manual de matemática de engenharia. Wolfram MathWorld.