Recursos do triângulo de escala, fórmula e áreas, cálculo



Um triângulo escaleno é um polígono de três lados, onde todos têm diferentes medidas ou comprimentos; por essa razão, é dado o nome scalene, que em latim significa escalada.

Os triângulos são polígonos considerados os mais simples na geometria, porque são formados por três lados, três ângulos e três vértices. No caso do triângulo escaleno, porque tem todos os lados diferentes, isso implica que seus três ângulos também serão.

Índice

  • 1 Características dos triângulos escalenos
    • 1.1 Componentes
  • 2 Imóveis
    • 2.1 ângulos internos
    • 2.2 Soma dos lados
    • 2.3 Lados Inconsistentes
    • 2.4 Ângulos Incongruentes
    • 2.5 Altura, mediana, bissetriz e bissetriz não são coincidentes
    • 2.6 O ortocentro, o baricentro, o incentivo e a circunferência não são coincidentes
    • 2,7 alturas relativas
  • 3 Como calcular o perímetro?
  • 4 Como calcular a área?
  • 5 Como calcular a altura?
  • 6 Como calcular os lados?
  • 7 exercícios
    • 7.1 Primeiro exercício
    • 7.2 Segundo exercício
    • 7.3 Terceiro exercício
  • 8 referências

Características dos triângulos escalenos

triângulos escaleno são polígonos simples porque nenhum de seus lados ou ângulos tem a mesma medida, ao contrário de triângulos isósceles e equilátero.

Como todos os seus lados e ângulos têm medidas diferentes, esses triângulos são considerados polígonos convexos irregulares.

De acordo com a amplitude dos ângulos internos, os triângulos escalenos são classificados como:

  • Triângulo retângulo de escala: todos os seus lados são diferentes. Um de seus ângulos é reto (90o) e os outros são nítidos e com diferentes medidas.
  • Triângulo do ângulo obtuso da escala: todos os lados são diferentes e um de seus ângulos é obtuso (> 90o).
  • Triângulo de ângulo de escala: todos os seus lados são diferentes. Todos os ângulos são nítidos (<90o), com diferentes medidas.

Outra característica de triângulos escaleno é que, devido à inconsistência de seus lados e ângulos, não tem eixo de simetria.

Componentes

A mediana: é uma linha que sai do ponto médio de um lado e atinge o vértice oposto. As três medianas coincidem em um ponto chamado centrocentro ou centróide central.

A bissetriz: é um raio que divide cada ângulo em dois ângulos de tamanho igual. As bissectrizes de um triângulo coincidem em um ponto chamado incentro.

O mediatrix: é um segmento perpendicular ao lado do triângulo, que se origina no meio disso. Há três mediatrices em um triângulo e coincidem em um ponto chamado circumcenter.

A altura: é a linha que vai do vértice para o lado oposto e esta linha é perpendicular a esse lado. Todos os triângulos têm três alturas que coincidem em um ponto chamado ortocentro.

Propriedades

triângulos escaleno são definidos ou identificados, pois têm várias propriedades que representam teoremas propostos por grandes matemáticos originaram. Elas são:

Ângulos internos

A soma dos ângulos internos é sempre igual a 180o.

Soma dos lados

A soma das medidas dos dois lados deve sempre ser maior que a medida do terceiro lado, a + b> c.

Lados inconsistentes

Todos os lados dos triângulos escalenos têm diferentes medidas ou comprimentos; isto é, eles são incongruentes.

Ângulos inconsistentes

Como todos os lados do triângulo escaleno são diferentes, os ângulos também serão diferentes. No entanto, a soma dos ângulos será sempre igual a 180, e em alguns casos um de seus ângulos pode ser obtuso ou em linha reta, enquanto em outros todos os ângulos são agudos.

Altura, mediana, bissetriz e bissetriz não são coincidentes

Como tudo o triângulo, escaleno tem vários segmentos de linha que o compõem, como são: alto, médio e mediatriz bisecting.

Devido à particularidade de seus lados, neste tipo de triângulo nenhuma dessas linhas coincidirá em uma única.

Orocentro, baricentro, incentivo e circuncentro não são coincidentes

Como a altura, bissetriz mediano que atravessa e eles são representados por diferentes segmentos de linha em um pontos-a reunião escaleno triângulo orthocenter, e centroid Incentro circuncentro- serão localizados em diferentes pontos (não corresponder).

Dependendo de o triângulo ser agudo, retângulo ou escaleno, o ortocentro tem locais diferentes:

a. Se o triângulo for agudo, o ortocentro estará dentro do triângulo.

b. Se o triângulo for um retângulo, o ortocentro coincidirá com o vértice do lado direito.

c. Se o triângulo é obtuso, o ortocentro estará do lado de fora do triângulo.

Alturas relativas

As alturas são relativas aos lados.

No caso do triângulo escaleno, essas alturas terão medidas diferentes. Cada triângulo tem três alturas relativas e para calculá-las é usada a fórmula de Heron.

Como calcular o perímetro?

O perímetro de um polígono é calculado pela soma dos lados.

Como neste caso o triângulo escaleno tem todos os seus lados com medidas diferentes, seu perímetro será:

P = lado a + lado b + lado c.

Como calcular a área?

A área dos triângulos é sempre calculada com a mesma fórmula, multiplicando a base pela altura e dividindo por dois:

Área = (base * h) ÷ 2

Em alguns casos, a altura do triângulo escaleno não é conhecida, mas existe uma fórmula que foi proposta pelo matemático Heron, para calcular a área sabendo a medição dos três lados de um triângulo.

Onde:

  • a, bec, representam os lados do triângulo.
  • sp, corresponde ao semiperímetro do triângulo, ou seja, metade do perímetro:

sp = (a + b + c) ÷ 2

Caso você tenha apenas a medida de dois dos lados do triângulo e o ângulo formado entre eles, a área pode ser calculada aplicando as relações trigonométricas. Então você tem que:

Área = (lado * h) ÷ 2

Onde a altura (h) é o produto de um lado pelo seno do ângulo oposto. Por exemplo, para cada lado, a área será:

  • Área = (b * c * sen A) ÷ 2
  • Área = (a * c * sen B) ÷ 2.
  • Área = (a * b * sen C) ÷ 2

Como calcular a altura?

Como todos os lados do triângulo escaleno são diferentes, não é possível calcular a altura com o teorema de Pitágoras.

A partir da fórmula de Heron, que é baseada nas medidas dos três lados de um triângulo, a área pode ser calculada.

A altura pode ser eliminada da fórmula geral da área:

O lado é substituído pela medida do lado a, b ou c.

Outra maneira de calcular a altura quando o valor de um dos ângulos é conhecido, é aplicar as razões trigonométricas, onde a altura representará uma perna do triângulo.

Por exemplo, quando o ângulo oposto à altura é conhecido, será determinado pelo seno:

Como calcular os lados?

Quando você tem a medida de dois lados e o ângulo oposto a estes, é possível determinar o terceiro lado aplicando o teorema dos cossenos.

Por exemplo, em um triângulo AB, a altura relativa ao segmento AC é plotada. Dessa forma, o triângulo é dividido em dois triângulos retângulos.

Para calcular o lado c (segmento AB), o teorema de Pitágoras é aplicado para cada triângulo:

  • Para o triângulo azul você precisa:

c2 = h2 + m2

Como m = b - n, é substituído:

c2 = h2 + b2 (b - n)2

c2 = h2 + b2 - 2 bilhões + n2.

  • Para o triângulo rosa você precisa:

h2 = a2 - n2

É substituído na equação anterior:

c2 = a2 - n2 + b2 - 2 bilhões + n2

c2 = a2 + b2 - 2 bilhões.

Sabendo que n = a * cos C, é substituído na equação anterior e o valor do lado c é obtido:

c2 = a2 + b2 - 2b* um * cos C.

Pela Lei dos Cosines, os lados podem ser calculados como:

  • um2 = b2 + c2 - 2b* c * cos A.
  • b2 = a2 + c2 - 2a* c * cos B.
  • c2 = a2 + b2 - 2b* um * cos C.

Há casos em que as medidas dos lados do triângulo não são conhecidas, mas a sua altura e os ângulos que são formados nos vértices. Para determinar a área nesses casos, é necessário aplicar as razões trigonométricas.

Conhecendo o ângulo de um de seus vértices, as pernas são identificadas e a razão trigonométrica correspondente é usada:

Por exemplo, a perna AB será oposta ao ângulo C, mas adjacente ao ângulo A. Dependendo do lado ou da perna correspondente à altura, o outro lado é liberado para obter o valor disso.

Exercícios

Primeiro exercício

Calcule a área e a altura do triângulo escaleno ABC, sabendo que seus lados são:

a = 8 cm

b = 12 cm.

c = 16 cm

Solução

Como dados são dadas as medições dos três lados do triângulo escaleno.

Porque você não tem o valor de altura, você pode determinar a área aplicando a fórmula de Heron.

Primeiro o semiperímetro é calculado:

sp = (a + b + c) ÷ 2

sp = (8 cm + 12 cm + 16 cm) ÷ 2

sp = 36 cm ÷ 2

sp = 18 cm.

Agora os valores na fórmula de Heron são substituídos:

Conhecer a área pode ser calculada a altura relativa ao lado b. A partir da fórmula geral, limpando-a, temos:

Área = (lado * h) ÷ 2

46, 47 cm2 = (12 cm * h) ÷ 2

h = (2 * 46,47 cm2) ÷ 12 cm

h = 92,94 cm2 ÷ 12 cm

h = 7,75 cm.

Segundo exercício

Dado o triângulo escaleno ABC, cujas medidas são:

  • Segmento AB = 25 m.
  • Segmento BC = 15 m.

No vértice B, um ângulo de 50 ° é formado. Calcule a altura relativa ao lado c, perímetro e área desse triângulo.

Solução

Neste caso, temos as medidas de dois lados. Para determinar a altura, é necessário calcular a medida do terceiro lado.

Como o ângulo oposto aos lados dados é dado, é possível aplicar a lei dos cossenos para determinar a medida do lado CA (b):

b2 = a2 + c2 - 2a*c * cos B

Onde:

a = BC = 15 m.

c = AB = 25 m.

b = AC.

B = 50o.

Os dados são substituídos:

b2 = (15)2 + (25)2 - 2*(15)*(25) * cos 50

b2 = (225) + (625) - (750) * 0,6427

b2 = (225) + (625) - (482,025)

b2 = 367,985

b = √ 367 985

b = 19,18 m.

Como já temos o valor dos três lados, calculamos o perímetro desse triângulo:

P = lado a + lado b + lado c

P = 15 m + 25 m + 19, 18 m

P = 59,18 m

Agora é possível determinar a área aplicando a fórmula de Heron, mas primeiro o semiperímetro deve ser calculado:

sp = P ÷ 2

sp = 59,18 m ÷ 2

sp = 29,59 m.

As medidas dos lados e do semiperímetro são substituídas na fórmula de Heron:

Finalmente conhecendo a área pode ser calculada a altura relativa no lado c. A partir da fórmula geral, limpando você deve:

Área = (lado * h) ÷ 2

143,63 m2 = (25 m * h) ÷ 2

h = (2 * 143,63 m2÷ 25 m

h = 287,3 m2 ÷ 25 m

h = 11,5 m.

Terceiro exercício

No triângulo escaleno ABC, o lado b mede 40 cm, o lado c mede 22 cm e, no vértice A, um ângulo de 90 é formadoo. Calcule a área desse triângulo.

Solução

Neste caso, as medidas de dois lados do triângulo escaleno ABC são dadas, bem como o ângulo que é formado no vértice A.

Para determinar a área não é necessário calcular a medida do lado a, pois através das razões trigonométricas o ângulo é usado para encontrá-lo.

Como o ângulo oposto à altura é conhecido, isso será determinado pelo produto de um lado e pelo seno do ângulo.

Substituindo na fórmula da área você tem que:

  • Área = (lado * h) ÷ 2
  • h = c * sen A

Área = (b * c * sen A) ÷ 2

Área = (40 cm * 22 cm * sen 90) ÷ 2

Área = (40 cm * 22 cm * 1) ÷ 2

Área = 880 cm2 ÷ 2

Área = 440 cm2.

Referências

  1. Álvaro Rendón, A. R. (2004). Desenho Técnico: caderno de atividades.
  2. Ángel Ruiz, H. B. (2006). Geometrias Tecnologia CR.
  3. Angel, A. R. (2007). Álgebra Elementar Educação Pearson,.
  4. Baldor, A. (1941). Álgebra Havana: Cultura.
  5. Barbosa, J. L. (2006). Geometria Euclidiana Plana. Rio de Janeiro,.
  6. Coxeter, H. (1971). Fundamentos da Geometria. México: Limusa-Wiley.
  7. Daniel C. Alexander, G. M. (2014). Geometria elementar para estudantes universitários. Cengage Learning
  8. Harpe, P. d. (2000). Tópicos em Teoria de Grupos Geométricos. Imprensa da Universidade de Chicago.