Recursos triangulares, propriedades, fórmulas e área equivalentes



Um Triângulo equilátero é um polígono com três lados, onde todos são iguais; isto é, eles têm a mesma medida. Para essa característica, foi dado o nome de equilateral (lados iguais).

Os triângulos são polígonos considerados os mais simples na geometria, porque são formados por três lados, três ângulos e três vértices. No caso do triângulo equilátero, por ter lados iguais, implica que seus três ângulos também serão iguais.

Índice

  • 1 Características dos triângulos equiláteros
    • 1.1 lados iguais
    • 1.2 Componentes
  • 2 Imóveis
    • 2.1 Ângulos Internos
    • 2.2 Ângulos Externos
    • 2.3 Soma dos lados
    • 2,4 lados congruentes
    • 2.5 Ângulos congruentes
    • 2.6 A bissetriz, a mediana e o mediatrix são coincidentes
    • 2.7 A bissetriz e a altura são coincidentes
    • 2.8 Orthocenter, baricentro, incentivo e circumcenter coincidem
  • 3 Como calcular o perímetro?
  • 4 Como calcular a altura?
  • 5 Como calcular os lados?
  • 6 Como calcular a área?
  • 7 exercícios
    • 7.1 Primeiro exercício
    • 7.2 Segundo exercício
    • 7.3 Terceiro exercício
  • 8 referências

Características dos triângulos equiláteros

Lados iguais

Os triângulos equiláteros são figuras planas e fechadas, compostas por três segmentos de linhas retas. Os triângulos são classificados por suas características, em relação aos seus lados e ângulos; o equilátero foi classificada utilizando-se como parâmetro a extensão dos seus lados, uma vez que estes são exatamente os mesmos, ou seja, são congruentes.

O triângulo equilátero é um caso particular do triângulo isósceles porque dois de seus lados são congruentes. É por isso que todos os triângulos equiláteros são também isósceles, mas nem todos os triângulos isósceles serão equiláteros.

Desta forma, os triângulos equiláteros têm as mesmas propriedades de um triângulo isósceles.

triângulos equiláteros também podem ser classificados pelo ângulo interno da amplitude como acutángulo triângulo equilátero, que tem três lados e três ângulos interiores com a mesma medida. Os ângulos serão nítidos, ou seja, serão menores que 90o.

Componentes

Os triângulos em geral possuem várias linhas e pontos que o compõem. Eles são usados ​​para calcular a área, lados, ângulos, mediana, bissetriz, perpendicular e altura.

  • A mediana: é uma linha que sai do ponto médio de um lado e atinge o vértice oposto. As três medianas coincidem em um ponto chamado centrocentro ou centróide central.
  • A bissetriz: É um raio que divide o ângulo em dois ângulos de vértice de igual tamanho, por isso, é conhecido como eixo de simetria. O triângulo equilátero tem três eixos de simetria.

No triângulo equilátero, a bissetriz é desenhada a partir do vértice de um ângulo para o seu lado oposto, cortando-o no seu ponto médio. Estes concorrem em ponto chamado incentro.

  • O mediatrix: é um segmento perpendicular ao lado do triângulo que se origina no meio disso. Existem três mediatices em um triângulo e eles concordam em um ponto chamado circuncentro.
  • A altura: é a linha que vai do vértice para o lado oposto e esta linha é perpendicular a esse lado. Todos os triângulos têm três alturas que coincidem em um ponto chamado ortocentro.

Propriedades

A principal propriedade dos triângulos equiláteros, será sempre triângulos isósceles, porque os isósceles são formadas por dois lados equiláteros congruentes e três.

Dessa forma, os triângulos equiláteros herdaram todas as propriedades do triângulo isósceles:

Ângulos Internos

A soma dos ângulos internos é sempre igual a 180oe como todos os seus ângulos são congruentes, então cada um deles medirá 60o.

Ângulos Externos

A soma dos ângulos externos será sempre igual a 360o, portanto, cada ângulo externo medirá 120o. Isso porque os ângulos internos e externos são complementares, ou seja, adicioná-los sempre será igual a 180o.

Soma dos lados

A soma das medidas de ambos os lados deve ser sempre maior do que a medida do terceiro lado, ou seja, a + b> c, em que a, b e c são as medições de cada lado.

Lados congruentes

Os triângulos equiláteros têm seus três lados com a mesma medida ou comprimento; isto é, eles são congruentes. Portanto, no item anterior, temos a = b = c.

Ângulos congruentes

Os triângulos equivalentes são também conhecidos como triângulos equiangulares, porque seus três ângulos internos são congruentes entre si. Isso ocorre porque todos os seus lados também têm a mesma medida.

A bissetriz, a mediana e o mediatrix são coincidentes

A bissetriz divide o lado de um triângulo em duas partes. triângulos equiláteros desse lado será dividido em duas partes exatamente iguais, ou seja, o triângulo será dividido em dois triângulos congruentes.

Assim, a bissetriz desenhada a partir de qualquer ângulo de um triângulo equilátero coincide com a mediana e a bissetriz do lado oposto àquele ângulo.

Exemplo:

A figura a seguir mostra o triângulo ABC com um ponto médio D que divide um de seus lados em dois segmentos AD e BD.

Quando você desenha uma linha do ponto D para o vértice oposto, por definição você obtém o CD mediano, que é relativo ao vértice C e ao lado AB.

Como o segmento CD divide o triângulo ABC em dois triângulos igual CDA e CDB, significa que no caso de congruência irá: ângulo lado lateral e, por conseguinte, também vai BCD CD bissectriz.

Ao desenhar o segmento de CD, divida o ângulo do vértice em dois ângulos iguais de 30o, o ângulo do vértice A continua a medir 60o e o CD reto forma um ângulo de 90o em relação ao ponto médio D.

A forma de segmento CD ângulos com a mesma medida para o ADC e triângulos BDC, isto é, eles são adicional, de modo que a extensão de cada um é:

Med. (ADB) + Med. (ADC) = 180o

2 * Med. (ADC) = 180o

Med. (ADC) = 180o ÷ 2

Med. (ADC) = 90o.

E assim, temos que o segmento CD é também a bissetriz do lado AB.

A bissetriz e a altura são coincidentes

Ao desenhar a bissectriz do vértice de um ângulo em relação ao ponto médio do lado oposto, isto divide o triângulo equilátero em dois triângulos congruentes.

De tal forma que um ângulo de 90 é formadoo (em linha reta). Isso indica que esse segmento de linha é totalmente perpendicular a esse lado e, por definição, essa linha seria a altura.

Desta forma, a bissetriz de qualquer ângulo de um triângulo equilátero coincide com a altura relativa no lado oposto desse ângulo.

Orocentro, baricentro, incentivo e circumcenter coincidem

Como altura, forma, e bissectriz bissectora são representados tanto pelo mesmo segmento, de um ponto de encontro equiláteros desses segmentos-a ortocentro, centróide, incentro e triângulo circuncentro-, estavam no mesmo ponto:

Como calcular o perímetro?

O perímetro de um polígono é calculado pela soma dos lados. Como neste caso o triângulo equilátero tem todos os seus lados com a mesma medida, seu perímetro é calculado com a seguinte fórmula:

P = 3 * lateral

Como calcular a altura?

Como a altura é a linha perpendicular à base, ela é dividida em duas partes iguais, estendendo-a ao vértice oposto. Assim, dois triângulos retângulos iguais são formados.

A altura (h) representa o lado oposto (a), a metade do lado AC a perna adjacente (b) lado BC representa a hipotenusa (c).

Usando o teorema de Pitágoras, você pode determinar o valor da altura:

um2 + b2 = c2

Onde:

um2 = altura (h).

b2 = lado b / 2.

c2 = lado a.

Substituindo estes valores no teorema de Pitágoras, e limpando a altura, temos:

h2 + ( l / 2)2 = l2

h2 + l2/ 4 = l2

h2 = l2  -  l2/ 4

h2 = (4*l2 -  l2) / 4

h2 =  3*l2 /4

√h2 = √ (3*l2 /4)

Se o ângulo formado pelos lados congruentes é conhecido, a altura (representada por uma perna) pode ser calculada aplicando as razões trigonométricas.

As pernas são chamadas opostas ou adjacentes, dependendo do ângulo tomado como referência.

Por exemplo, na figura anterior, o cateto h será oposto ao ângulo C, mas adjacente ao ângulo B:

Assim, a altura pode ser calculada com:

Como calcular os lados?

Há casos em que as medidas dos lados do triângulo não são conhecidas, mas a sua altura e os ângulos que são formados nos vértices.

Para determinar a área nesses casos, é necessário aplicar as razões trigonométricas.

Conhecendo o ângulo de um de seus vértices, as pernas são identificadas e a razão trigonométrica correspondente é usada:

Assim, a perna AB será oposto ao ângulo C, mas adjacente ao ângulo A. Dependendo lado ou correspondendo à perna altura, do outro lado é limpo para obter o valor deste, sabendo que em um triângulo equilátero três os lados sempre terão a mesma medida.

Como calcular a área?

A área dos triângulos é sempre calculada com a mesma fórmula, multiplicando a base pela altura e dividindo por dois:

Área = (b * h) ÷ 2

Sabendo que a altura é dada pela fórmula:

Exercícios

Primeiro exercício

Os lados de um triângulo equilátero ABC medem 20 cm cada. Calcule a altura e a área desse polígono.

Solução

Para determinar a área desse triângulo equilátero, é necessário calcular a altura, sabendo que, ao desenhá-la, ela divide o triângulo em dois triângulos retângulos iguais.

Dessa forma, o teorema de Pitágoras pode ser usado para encontrá-lo:

um2 + b2 = c2

Onde:

a = 20/2 = 10 cm.

b = altura

c = 20 cm

Os dados no teorema são substituídos:

102 + b2 = 202

100 cm + b2 = 400 cm

b2 = (400 - 100) cm

b2 = 300 cm

b = 300 cm

b = 17,32 cm.

Isto é, a altura do triângulo é igual a 17,32 cm. Agora é possível calcular a área do triângulo dado substituindo na fórmula:

Área = (b * h) ÷ 2

Área = (20 cm * 17,32 cm) ÷ 2

Área = 346,40 cm2 ÷ 2

Área = 173,20 cm2.

Outra forma mais simples de resolver o exercício é substituir os dados na fórmula direta da área, onde o valor da altura também é implicitamente encontrado:

Segundo exercício

Em uma terra que tenha uma forma de triângulo equilátero, as flores serão plantadas. Se o perímetro dessa terra for igual a 450 m, calcule o número de metros quadrados ocupados pelas flores.

Solução

Sabendo que o perímetro de um triângulo corresponde à soma de seus três lados e como o terreno tem a forma de um triângulo equilátero, os três lados desse triângulo terão a mesma medida ou comprimento:

P = lado + lado + lado = 3 * l

3 * l = 450 m

l = 450 m ÷ 3

l = 150 m

Agora é necessário apenas calcular a altura desse triângulo.

A altura divide o triângulo em dois triângulos retos congruentes, onde uma das pernas representa a altura e a outra metade da base. Pelo teorema de Pitágoras, a altura pode ser determinada:

um2 + b2 = c2

Onde:

um = 150 m ÷ 2 = 75 m.

c = 150 m

b = altura

Os dados no teorema são substituídos:

(75 m)2 + b2 = (150 m)2

5,625 m + b2 = 22.500 m

b2 = 22.500 m - 5,625 m

b2 = 16.875 m

b = ,816.875 m

b = 129,90 m.

Então a área que ocupará as flores será:

Área = b * h ÷ 2

Área = (150 m * 129,9 m) ÷ 2

Área = (19.485 m2) ÷ 2

Área = 9.742,5 m2

Terceiro exercício

O triângulo equilátero ABC é dividido por um segmento de linha que vai do seu vértice C até o ponto médio D, localizado no lado oposto (AB). Este segmento mede 62 metros. Calcule a área e o perímetro desse triângulo equilátero.

Solução

Sabendo que o triângulo equilátero é dividido por um segmento de linha que corresponde à altura, formando assim dois triângulos retos congruentes, este, por sua vez, também divide o ângulo do vértice C em dois ângulos com a mesma medida, 30o cada um.

A altura forma um ângulo de 90o em relação ao segmento AB, e o ângulo do vértice A medirá então 60o.

Em seguida, usando como referência o ângulo de 30o, a altura CD é estabelecida como uma perna adjacente ao ângulo e BC como hipotenusa.

A partir desses dados, o valor de um dos lados do triângulo pode ser determinado, usando as razões trigonométricas:

Como no triângulo equilátero, todos os lados têm exatamente a mesma medida ou comprimento, isso significa que cada lado do triângulo equilátero ABC é igual a 71,6 metros. Sabendo disso, é possível determinar sua área:

Área = b * h ÷ 2

Área = (71,6 m * 62 m) ÷ 2

Área = 4.438,6 m2 ÷ 2

Área = 2.219,3 m2

O perímetro é dado pela soma de seus três lados:

P = lado + lado + lado = 3 * l

P = 3*l

P = 3 * 71,6 m

P = 214,8 m.

Referências

  1. Álvaro Rendón, A. R. (2004). Desenho Técnico: caderno de atividades.
  2. Arthur Goodman, L. H. (1996). Álgebra e trigonometria com geometria analítica. Educação Pearson.
  3. Baldor, A. (1941). Álgebra Havana: Cultura.
  4. BARBOSA, J. L. (2006). Geometria Euclidiana Plana. SBM. Rio de Janeiro, .
  5. Coxford, A. (1971). Geometria Uma Abordagem de Transformação. EUA: irmãos Laidlaw.
  6. Euclid, R. P. (1886). Elementos de Geometria de Euclides.
  7. Héctor Trejo, J. S. (2006). Geometria e Trigonometria
  8. León Fernández, G. S. (2007). Geometria Integrada Instituto Tecnológico Metropolitano.
  9. Sullivan, J. (2006). Álgebra e trigonometria. Educação Pearson.