Gradiente de Características Potenciais, Como Calcular e Exemplo

O gradiente potencial é um vetor que representa a relação de mudança do potencial elétrico em relação à distância em cada eixo de um sistema de coordenadas cartesianas. Assim, o vetor de gradiente potencial indica a direção na qual a taxa de variação do potencial elétrico é maior, em função da distância.

Por sua vez, o módulo de gradiente potencial reflete a taxa de variação da variação do potencial elétrico em uma determinada direção. Se o valor disto é conhecido em cada ponto de uma região espacial, então o campo elétrico pode ser obtido a partir do gradiente de potencial.

O campo elétrico é definido como um vetor, com o qual ele tem uma direção e magnitude específicas. Ao determinar a direção na qual o potencial elétrico diminui mais rapidamente - afastando-se do ponto de referência - e dividindo este valor pela distância percorrida, obtém-se a magnitude do campo elétrico.

Índice

• 1 caraterísticas
• 2 Como calcular isso?
• 3 Exemplo
  • 3.1 Exercício
• 4 referências

Características

O gradiente de potencial é um vetor delimitado por coordenadas espaciais específicas, que mede a taxa de mudança entre o potencial elétrico e a distância percorrida pelo potencial.

As características mais destacadas do gradiente de potencial elétrico estão detalhadas abaixo:

1- O gradiente de potencial é um vetor. Portanto, tem uma magnitude e direção específicas.

2- Como o gradiente de potencial é um vetor no espaço, ele possui magnitudes endereçadas nos eixos X (largura), Y (alta) e Z (profundidade), se o sistema de coordenadas cartesianas for tomado como referência.

3- Este vetor é perpendicular à superfície equipotencial no ponto em que o potencial elétrico é avaliado.

4- O vetor de gradiente de potencial é direcionado para a direção de variação máxima da função de potencial elétrico em qualquer ponto.

5- O módulo do gradiente de potencial é igual ao derivado da função de potencial elétrico em relação à distância percorrida na direção de cada um dos eixos do sistema de coordenadas cartesianas.

6- O gradiente de potencial tem valor zero nos pontos estacionários (máximo, mínimo e pontos de sela).

7- No sistema internacional de unidades (SI), as unidades de medida do gradiente de potencial são volts / metros.

8- A direção do campo elétrico é a mesma em que o potencial elétrico diminui sua magnitude mais rapidamente. Por sua vez, o gradiente potencial aponta na direção em que o potencial aumenta seu valor em relação a uma mudança de posição. Então, o campo elétrico tem o mesmo valor do gradiente potencial, mas com sinal oposto.

Como calcular isso?

A diferença de potencial elétrico entre dois pontos (ponto 1 e ponto 2) é dada pela seguinte expressão:

Onde:

V1: potencial elétrico no ponto 1.

V2: potencial elétrico no ponto 2.

E: magnitude do campo elétrico.

Ѳ: ângulo da inclinação do vetor do campo elétrico medido em relação ao sistema de coordenadas.

Ao expressar essa fórmula diferencialmente, pode-se deduzir o seguinte:

O fator E * cos (Ѳ) refere-se ao módulo do componente de campo elétrico na direção de dl. Seja L o eixo horizontal do plano de referência, então cos (Ѳ) = 1, assim:

A seguir, o quociente entre a variação do potencial elétrico (dV) e a variação na distância percorrida (ds) é o módulo do gradiente de potencial para o referido componente.

Daí resulta que a magnitude do gradiente do potencial elétrico é igual ao componente do campo elétrico na direção do estudo, mas com o sinal oposto.

No entanto, como o ambiente real é tridimensional, o gradiente de potencial em um determinado ponto deve ser expresso como a soma de três componentes espaciais nos eixos X, Y e Z do sistema cartesiano.

Ao dividir o vetor do campo elétrico em seus três componentes retangulares, temos o seguinte:

Se houver uma região no plano em que o potencial elétrico tenha o mesmo valor, a derivada parcial desse parâmetro em relação a cada uma das coordenadas cartesianas será zero.

Assim, em pontos que estão em superfícies equipotenciais, a intensidade do campo elétrico terá magnitude zero.

Finalmente, o vetor de gradiente potencial pode ser definido exatamente como o mesmo vetor de campo elétrico (em magnitude), com sinal oposto. Assim, temos o seguinte:

Exemplo

Dos cálculos acima você deve:

Agora, antes de determinar o campo elétrico como uma função do gradiente de potencial, ou vice-versa, a direção na qual a diferença de potencial elétrico cresce deve primeiro ser determinada.

Em seguida, determina-se o quociente da variação do potencial elétrico e a variação da distância líquida percorrida.

Deste modo, obtém-se a magnitude do campo elétrico associado, que é igual à magnitude do gradiente de potencial nessa coordenada.

Exercício

Existem duas placas paralelas, conforme refletido na figura a seguir.

Passo 1

A direção de crescimento do campo elétrico no sistema de coordenadas cartesianas é determinada.

O campo elétrico cresce somente na direção horizontal, dado o arranjo das placas paralelas. Consequentemente, é possível deduzir que os componentes do gradiente de potencial no eixo Y e no eixo Z são zero.

Passo 2

Os dados de interesse são discriminados.

- Diferença de potencial: dV = V2 - V1 = 90 V - 0 V => dV = 90 V.

- Diferença na distância: dx = 10 centímetros.

Para garantir a congruência das unidades de medição usadas de acordo com o Sistema Internacional de Unidades, as quantidades que não são expressas em SI devem ser convertidas de acordo. Assim, 10 centímetros equivale a 0,1 metros e, finalmente: dx = 0,1 metros.

Passo 3

A magnitude do vetor gradiente potencial é calculada conforme apropriado.

Referências

1. Eletricidade (1998). Encyclopædia Britannica, Inc. Londres, Reino Unido. Recuperado de: britannica.com
2. Gradiente potencial (s.f.). Universidade Nacional Autônoma do México. Cidade do México, México. Retirado de: profesores.dcb.unam.mx
3. Interação elétrica Recuperado de: matematicasypoesia.com.es
4. Potencial Gradiente (s.f.). Retirado de: circuitglobe.com
5. Relação entre o potencial e o campo elétrico (s.f.). Instituto Tecnológico da Costa Rica. Cartago, Costa Rica. Retirado de: repositoriotec.tec.ac.cr
6. Wikipédia, a enciclopédia livre (2018). Gradiente Retirado de: en.wikipedia.org